一橋大数学'11年前期[1]
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(1) 自然数x,yは、
および をみたす。x,yの組をすべて求めよ。
(2) 自然数x,y,zは、
および をみたす。x,y,zの組をすべて求めよ。
解答 (2)は、(1)と同様にして、両辺に
をかけてみても難しいものがあります。そこで、x,yが大きくなると、
,
が小さくなり、
,
が1に近くなり、
が大きく、つまり、zが小さくないと等式が成立しなくなる、というところに着目します。なお、整数を参照してください。
(1) 与式両辺に
をかけて、 
・・・@このまま、
とするとうまく行かないので、左辺で
をくくり出せるように@に2をかけておきます。 ∴ 
と、
,
が15の約数であることから、(i)
かつ 
(ii)
かつ
の2通りに限られます。(i)のとき、
,
(ii)のとき、
,
よって、
......[答]
(2) まず、具体的に、数値をあてはめて感触を探ります。
とすると、
です。与式より、両辺に
をかけます。 ∴ 
と、
,
が40の約数であることから、(i)
かつ 
(ii)
かつ
の2通りに限られます。(i)のとき、
,
(ii)のとき、
,
で不適です。
これで、
という解が1組得られました。
とすると、
,
・・・A よって、
これより、
,
,
Aを満たせないので、
の場合には題意を満たす
の組はありません。
以上より、
......[答]
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