一橋大数学'11年前期[1]
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(1) 自然数x，yは、
および をみたす。x，yの組をすべて求めよ。
(2) 自然数x，y，zは、
および をみたす。x，y，zの組をすべて求めよ。
解答 (2)は、(1)と同様にして、両辺に
をかけてみても難しいものがあります。そこで、x，yが大きくなると、
，
が小さくなり、
，
が1に近くなり、
が大きく、つまり、zが小さくないと等式が成立しなくなる、というところに着目します。なお、整数を参照してください。
(1) 与式両辺に
をかけて、 
･･･①このまま、
とするとうまく行かないので、左辺で
をくくり出せるように①に2をかけておきます。 ∴ 
と、
，
が15の約数であることから、(i) 
かつ 
(ii) 
かつ 
の2通りに限られます。(i)のとき、
，
(ii)のとき、
，
よって、
......[答]
(2) まず、具体的に、数値をあてはめて感触を探ります。
とすると、
です。与式より、両辺に
をかけます。 ∴ 
と、
，
が40の約数であることから、(i) 
かつ 
(ii) 
かつ 
の2通りに限られます。(i)のとき、
，
(ii)のとき、
，
で不適です。
これで、
という解が1組得られました。
とすると、
，
･･･② よって、
これより、
，
，
②を満たせないので、
の場合には題意を満たす
の組はありません。
以上より、
......[答]
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