一橋大数学'11年前期[2]
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点Oを中心とする半径rの円周上に、2点A，Bを
となるようにとり
とおく。この円周上に点Cを、線分OCが線分ABと交わるようにとり、線分AB上に点Dをとる。また、点Pは線分OA上を、点Qは線分OB上を、それぞれ動くとする。
(1) 
の最小値をrとθ で表せ。 (2) 
とおく。
の最小値をaとθ で表せ。 (3) さらに、点Dが線分AB上を動くときの
の最小値をrとθ で表せ。
解答 正弦定理や余弦定理の適用が浮かぶのですが、うまくいきません。座標設定してみてもラチがあきません。ですが、円周上に位置する点の、直径に関する対称点は、円周上に来る、ということに気づけば容易に解決します。
(1) 直線OAに関するCの対称点をE，直線OBに関するCの対称点をFとすると、E，Fは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。また、
，
，
，
です。
･･･①となりますが、線分EFと、線分OA，線分OBとの交点を
，
とすると、
，
より、 
･･･②①，②より、
これは、
の最小値がEFであることを示しています。
(2) 直線OAに関するBの対称点をG，直線OBに関するAの対称点をHとすると、G，Hは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。線分AB上の点Dの直線OAに関する対称点Iは線分AG上の点です。Dの直線OBに関する対称点Jは線分BH上の点です。
･･･③となりますが、線分IJと、線分OA，線分OBとの交点を
，
とすると、
，
より、 
･･･④③，④より、
これは、
の最小値がIJであることを示しています。 余弦定理より、
(倍角の公式を利用)
(3) 点Oから線分ABに垂線OK (Kは線分ABの中点です)を下ろし、
の大きさをφ (
)とすると、 点Dが線分AB上を動くときの
の最小値は、
......[答]
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より、
の最小値は
......[答]
，
，
，
です。
より、
よって、
の最小値は
......[答]
