不定方程式 関連問題
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整数の定数a，b，c (
，
)について、
を満たす整数の組
を求める問題があります。これを1次不定方程式と言います。
はxy平面上で直線を表しますが、1次不定方程式を満たす整数の組を求めることは、直線上の格子点を求めることに対応します。
a，bを互いに素な整数とします。
不定方程式：
･･･①
より、xはbの倍数で、整数kを用いて、
とおけます。
より、
こうして①の整数解は、整数kを用いて、
不定方程式：
･･･②
何らかの方法で特殊解
，
が見つかったとします。
･･･③
②－③より、
①の解と同様にして、
はbの倍数で、整数kを用いて、
とおけます。
より、
②の整数解は、整数kを用いて、
不定方程式：
･･･④
④のcを1とした不定方程式：
の特殊解が
，
だとします。
両辺にcをかけて、
･･･⑤
④－⑤より、
はbの倍数で、整数kを用いて、
とおけます。
より、
④の整数解は、整数kを用いて、
不定方程式②，不定方程式④では、まず、特殊解をどうやって見つけるかが問題になります。
のような簡単な不定方程式であれば、
，
とすぐ見つかります。ですが、
･･･①
のような場合、
と代入していっても簡単には見つかりません。
このときに有効な方法が、Euclidの互除法です。
157÷68＝2あまり21，つまり、
･･･②
68÷21＝3あまり5，つまり、
･･･③
21÷5＝4あまり1，つまり、
･･･④
互除法を繰り返してあまりが1 (157と68の最大公約数が1，つまり、157と68が互いに素、ということを意味しています)になったところで、③から出発して、まず、④の5のところに直前の③を代入します。
整理すると、
･･･⑤
さらに⑤の21のところに①を代入します。
整理すると、
元の不定方程式①と比較すると、
，
が、①の特殊解を与えることがわかります。
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