，
が積分可能で、この範囲において、
とするとき、
不等式の等号は、
における任意の
において、，が積分可能で、この範囲において、とするとき、における任意のxについて、
であるときに限り成立する。
において、
が積分可能で、
とするとき、区分求積法の議論より、定積分
は、曲線
と、x軸、直線
，直線
によって囲まれる部分の面積(負の値にはなりません)を表します。
における任意のxについて、
であれば、
･･･①
に含まれるある区間
において、
であれば、明らかに、
です。
内の残る区間においても、明らかに、
，
です。よって、
･･･②
における任意のxについて、
であるときに限り成立します。
とおくと、
において、
は積分可能で、
です。
における任意のxについて、
，つまり、
であるときに限り成立します。
における任意のxについて、
であるときに限り成立します。
において、積分可能で2回以上微分可能な関数
があるとき、
かつ 
かつ 
であれば、
であることを示す。
より、
は単調減少で、
です。また、
より、
において、
です。
とおくと、
より、
，また、
より、
において、
より、曲線
は上に凸で、接線から下側に来ます。 ･･･①
における接線は、
･･･②
における接線は、
･･･③
です。
とx軸で囲む部分の面積は、2直線②，③とx軸で囲む部分(底辺1，高さ
の三角形)の面積
よりも小さくなります。よって、
⇒ 
を使う例を示します。
のとき、
であることを示す。
のとき、
です。
において、
より、
であり、
が成立します。よって、
･･･① (被積分関数に関する不等式に等号が入らないので、定積分の不等式にも等号が入らないことに注意)
とおくと、
，x：
のとき、φ：
(置換積分(その2)を参照)