置換積分(その2)　　　関連問題


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この項目は、不定積分の公式、置換積分を参照してください。

の場合では、とおくと、うまくいくことがあります。

例1．
とおくと、，
x：のとき、θ ：
∴
　

例2．
根号内を平方完成します。

とおくと、，
x：のとき、θ?：
∴
　
　
　
　
　
[別解]　置換積分の定石通りやれば上記の通りなのですが、入試会場では時間の制約もあるので、以下のような方針で答案を作成してください。
の両辺を2乗して整理すると、となるので、被積分関数はを中心とする円のx軸から上側の部分であって、積分は、この円のの部分とx軸の間に挟まれた領域(右図緑色の部分)の面積に相当します。
右図で、半径2，中心角の扇形の面積と、底辺1，高さの直角三角形の面積を加えることにより、


，として、を考えます。
とおくと、，x：のとき、θ ：より、

となりますが、なので、
，，であれば、xとyの関係は1対1なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、，，として、は正弦関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正弦がtになるときの角がです。
，つまり、

です。
では、なので、のとき、逆関数の微分法により、

となることに注意してください。

の場合は、とおくと、うまくいくことがあります。

例3．

とおくと、，
x：のとき、θ ：より、

　

，として、 を考えます。
とおくと、，
x：のとき、θ ：より、

となりますが、なので、
，であれば、xとyの関係は1対1なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、，として、は正接関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正接がtになるときの角がです。
，つまり、

です。
，のとき、逆関数の微分法により、

となることに注意してください。


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