慶大医数学'10年[2]
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(2)(ii)に答えなさい。
座標平面においてA
(ただし
)をx軸上の定点とし、曲線Cを双曲線
の
に対する部分とする。曲線C上の点Qに対し、点Pが直線
上を動くときの
の最小値を
と定義する。
(1) Q
に対して
をaの式で表すと
であり、Q
に対しては
である。 (2) さらにQが曲線C上を動くときの
の最小値を考える。 (i) 
がQ
において最小値をとるのは
のときであり、Q
において最小値をとるのは
のときである。 (ii) 
がQ
において最小値をとるようなaの範囲を求めなさい。
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解答 答えだけなら容易にわかってしまうので、空所補充問題としては難問とは言えませんが、仮に、きちんと論述する、ということになると厄介な問題です。なお、2次関数の最大・最小を参照してください。
双曲線C：
と直線
を図示すると右図のようになります。
両式を連立すると、
より、
においては、
，
双曲線Cと直線の交点は
です。
(1)(あ) Q
に対して、
を最小とする、直線
上の点Pは、Aの
に関する対称点
とQを結ぶ直線と直線
との交点です。 これ以外の直線
上の点
について、三角形の2辺の和は他の1辺より大きいので、 となるからです。
の最小値は、 
......[答](い) Q
とAは直線
の逆側にあるので、このQに対して、
の最小値は、 
......[答]
(2)(i)(う) Qが、直線
よりも下にある、つまり、領域
内にあるとき、
の最小値は
です。 双曲線
上の点のy座標をt (
)とすると、x座標は
です。 
･･･①
のときに
最小となりますが、
なので、
，つまり、
である必要があります。
領域
内の点Q
において
最小となるのは、Qのy座標について、
となるので、
，つまり、
......[答] のときです。(え) Qが、直線
よりも上にある、つまり、領域
内にあるとき、
の最小値は
です。 双曲線
上の点のx座標をs (
)とすると、y座標は
(
)です。 
･･･②
のときに
最小となりますが、
なので、
，つまり、
である必要があります。
領域
内の点Q
において
最小となるのは、Qのx座標について、
となるので、
，つまり、
......[答] のときです。①で
，②で
としたときにも、
(
とおきます)となります。(i)を整理すると、 ・領域
内に存在する双曲線上の点において
が最小値
をとれば、
・領域
内に存在する双曲線上の点において
が最小値
をとれば、
ということになります。
問われていることには直接関係しませんが、
のときと
のときについて
最小を考えてみます。 (a) 
のとき、 点Qが領域
内に存在する双曲線上を動くとき、①において
の範囲をtが動くので、
は、
(
)のとき最小値
をとります。
点Qが領域
内に存在する双曲線上を動くとき、②において
の範囲をsが動くので、
であることから
であって
はsの増加関数で、
です。
においては、 より、
なので、Qが双曲線
の
の部分を動くと、
は、
のとき最小値
をとります。このとき、Qは双曲線Cの
の部分にあります。 (b) 
のとき、 点Qが領域
内に存在する双曲線上を動くとき、②において
の範囲をsが動くので、
は、
(
)のとき、最小値
をとります。
点Qが領域
内に存在する双曲線上を動くとき、①において
の範囲をtが動くので、
であることから
であって
はsの減少関数で、
です。
においては、 より、
なので、Qが双曲線
の
の部分を動くと、
は、
のとき最小値
をとります。このとき、Qは双曲線Cの
の部分にあります。 (a)，(b)より、
，
のときには、Qは双曲線Cの
以外の点で
最小となります。
さて、(a)，(b)と同様に、
の場合を調べてみます。試験会場ではこの場合だけ考えればOKです。
点Qが領域
内に存在する双曲線上を動くとき、①において
の範囲をtが動くので、
であることから
はtの減少関数で、
点Qが領域
内に存在する双曲線上を動くとき、②において
の範囲をsが動くので、
であることから
はsの増加関数で、
これより、
のときに、
は、Qが
に来たときに最小になります。よって、
がQ
において最小値をとるようなaの範囲は、
......[答]
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に対して、
の最小値
は、
