双曲線 関連問題
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標準形：
，
(
，
)
双曲線の定義：2定点(焦点と言う)からの距離の差が一定である点の集合を双曲線と言う。
双曲線は、
，
とすると、限りなく漸近線に接近していく。標準形で与えられる双曲線の場合、漸近線は、
特に、漸近線が直交する双曲線を、直角双曲線と言う。
双曲線の定義から、双曲線の方程式の標準形を導いてみます。
2焦点を、F
，
，2焦点までの距離の差を
(
)とします。
双曲線上の点P
と2焦点までの距離の差は、
両辺を2乗すると、
･･･① とおいて、両辺を
で割ると、
ここで、
とすると、
を双曲線の頂点と言います。
①式より、双曲線：
の焦点の座標
について、
(右図青線参照)
双曲線の焦点がy軸上にくる場合には、2焦点
からの距離の差が
だとして、双曲線の方程式は、
になります(x，aの立場とy，bの立場が入れ換わると思えばよい。右図赤線参照)。このときにも、
となります。
双曲線の方程式：
，
を満たす点
に対して、xのところに
を代入しても、yのところに
を代入しても、双曲線の方程式は成り立ちます。ということは、双曲線は、x軸に関しても、y軸に関しても、原点に関しても対称だということです。
双曲線の方程式：
において、
，
としたとき、右辺の1が相対的に小さくなるので、双曲線は
に近づくことになり、
より、双曲線は、漸近線：
をもつと理解しておくとよいでしょう。
正確には、双曲線の方程式：
をyについて解いて、
より、漸近線の傾きは、
より、漸近線のy切片は0
よって、漸近線は、
双曲線：
の漸近線も同様に、
です。
双曲線：
に接する傾きmの接線を求めてみます。
双曲線の方程式に
をかけて、
と連立して、
整理して、
この2次方程式は重解を持ちます(2次方程式の一般論を参照)。
よって、判別式：
整理すると、
∴ 
∴ 
よって求める傾きmの接線は、
双曲線の方程式：
の両辺を陰関数の微分法で微分すると、
∴ 
双曲線上の点
における接線の傾きは、
における接線は、
∴ 
･･･②
は双曲線上の点なので、
を満たすので、②式を
で割ることにより、
よって、
における接線は、
双曲線：
の
における接線も同様に、
です。
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