京大理系数学'05年前期[1]
xy平面上の原点と点
を結ぶ線分(両端を含む)をLとする。曲線
がLと共有点をもつような実数の組
の集合をab平面上に図示せよ。
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解答 入試では頻出の2次方程式の解の配置の問題です。
原点と点
を結ぶ直線は傾きが2なので、
･･･①
放物線：
･･･② と、L，即ち、直線①の
の部分とが共有点をもつ
⇔ ①と②を連立してできる2次方程式：
が
の範囲に少なくとも1解を有する ⇔ 1) 
がただ1つの解を
の範囲にもつかまたは0と1を解にもつ または、
2) 
が重解も含めて2つの解を
の範囲にもつ
1) ⇔ 
(両端での関数の値が異符号か0) ∴ 
この不等式の表す領域は、直線
(a軸)から下でかつ直線
･･･③ から上の領域、及び、直線
から上でかつ直線
から下の領域です。 ･･･④
2) ⇔ a) 
の判別式：
かつ
かつ
c) 
かつ
a)より、
b)より、
c)より、
かつ 
a)かつb)かつc)の表す領域は、放物線
･･･⑤ から下側であって、かつ、直線
(a軸)から上であって、かつ、直線
から上であって、かつ、直線
から右で、かつ、直線
から左の領域です。 ･･･⑥
求める集合は、④と⑥の和集合であって、図示すると右図斜線部(境界線を含む)。
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