京大理系数学'10年甲[2]
四面体ABCDにおいて
と
，
と
，
と
はそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ。
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解答 空間ベクトルの問題ですが、無理に1次独立な3つのベクトルを持ち出さずとも、内積計算で平凡に解決します。
題意より、
･･･① (内積を参照)
，
と、
が垂直であることを示すことです。
･･･②
･･･③
④，⑤，⑥より、
②より、
∴ 
同様に、①より、
⑦，⑧，⑨より、
③より、
∴ 
よって、頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交します。
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･･･④
･･･⑤
･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧
･･･⑨
