京大理系数学'99年前期[5]
以下の問いに答えよ。ただし、
，
，
が無理数であることは使ってよい。
(1) 有理数p，q，rについて、
ならば、
であることを示せ。 (2) 実数係数の2次式
について、
，
，
のいずれかは無理数であることを示せ。
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解答 難関大学でよく見かける、背理法を用いる論証の問題です。
(2)では、a，bが「実数」となっていることに注意しましょう。A，Bが実数の場合には、
⇒ 
まず、命題(＊)：
が無理数のとき、有理数A，Bが、を満たすとき、
が成り立つことを証明しておきます。
と仮定すると、
となり、右辺は有理数で、無理数と有理数が等しいという不合理が起きます。よって、
であり、
なら
です。
(1) 
･･･① 2乗して、
，
は有理数なので、命題(＊)により、よって、p，qのどちらかは0です。
(i) 
のとき、 ①より、
をかけて、
，rは有理数なので、命題(＊)により、つまり、
です。 (ii) 
のとき、 ①より、
q，rは有理数なので、命題(＊)により、
以上より、有理数p，q，rについて、
ならば、
(2) 
，
，
がすべて有理数であると仮定します。c，d，eを有理数として、 実数a，bを残していると、命題(＊)，あるいは、(1)の結果が利用できないので、a，bをc，d，eで表すことを考えます。そのために、②と④をa，bに関する連立方程式と見て解きます。
④－②より、
∴ 
(分母を有理化した)②より、 これらを③に代入すると、
をかけて、これより、
かつ 
という矛盾が起きます。
よって、
，
，
がすべて有理数である、とした仮定は誤りで、
，
，
のいずれかは無理数です。
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･･･②
･･･③
･･･④
，
，
は有理数なので、