物理への応用
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(1) 1次元の運動：時刻tにおける物体の位置が
だとして、 物体の速度は、
物体の速さは、
物体の加速度は、
時刻
における、物体の位置が
，速度が
だとして、時刻tにおける加速度
が与えられているとき、 時刻
から時刻tの間に、物体が動いた道のりは、
(2) 2次元の運動：時刻tにおける物体の位置が
だとして、 物体の速度は、
物体の速さは、
物体の加速度は、
時刻
における、物体の位置が
，速度が
だとして、時刻tにおける加速度
が与えられているとき、
上記では、
として、ベクトル
の微分
を、
のように見て、
と書いています。
また、ベクトル
の積分
を、
のように見て、
と書いています。
直線上を運動する物体が、時間
の間に
だけ座標が変化するとき、
を平均速度と言います。
xが時間の関数であるなら、平均速度は、関数
の平均変化率に相当します。
平均速度で、時間
の間にどれだけ進むかということを比較することができますが、平均速度自体が時々刻々変化しているような場合には、平均速度では物体の移動が速いか遅いか比較することができないときがあります。
各瞬間における移動が速いか遅いかを評価するために、
を極めて短くとることを考えます。数学上では、
としたときの極限を考えることになります。
を物体の速度と言います。即ち、
です。
同様に、速度変化の度合いを評価するために、時間
の間の速度変化を
として、
を物体の加速度と言います、即ち、
です。
また、速度の絶対値
を速さと言います。
時刻tの関数として加速度が
と与えられているとき、
より、
における速度を
として、
(両辺を微分すれば確かめられます) ･･･①
と与えられているとき、
より、
における物体の座標を
として、
(両辺を微分すれば確かめられます) ･･･②
(i) 一次元等加速度運動
直線上を運動する物体の加速度aが一定である運動を等加速度運動と言います。
時刻tにおける速度
は、
における速度を
とすると、①により、
時刻tにおける物体の座標
は、
における座標を
として、②により、
(ii) 二次元の運動
二次元、三次元の運動では、物体の位置、速度、加速度を表すのにベクトルを用います。
二次元の運動、つまり、物体が平面上を運動するときは、物体の位置の座標を
として、x方向の運動、y方向の運動、それぞれを一次元の運動のように考えます。物体の位置は、
，物体の速度は、
，物体の加速度は、
つまり、速度のx成分は
，速度のy成分は
です。加速度のx成分は
，加速度のy成分は
です。
，
のように与えられている場合、
速度のx成分は、
速度のy成分は、
加速度のx成分は、
加速度のy成分は、
物体の運動経路を示す曲線の式：
と、速度のx成分：
が与えられている場合、
を求めるのには、合成関数の微分法を利用します。
速度のy成分は、
速さは、
加速度のx成分は、
加速度のy成分は、
平面上の直線に沿って、等加速度運動する物体の加速度が
と与えられている(
，
は定数)とき、
における速度を
，時刻tにおける速度を
として、①により、
この2式を1つにまとめて、以下のように書くことにします。
における物体の位置ベクトルを
，時刻tにおける物体の位置ベクトルを
として、②により、
この2式を1つにまとめて、以下のように書くことにします。
平面上の円周に沿って、一定の速さで動く物体の運動を等速円運動と言います。物体の位置を指す位置ベクトルとx軸とのなす角θ は、時間tの1次関数として、
と表すことができます。ω を角速度、δを初期位相と言います。
これより、半径Aの円周に沿って反時計回り(
)に等速円運動する物体の位置ベクトルは、
速度ベクトルは、
より、物体の速度は動径と垂直になっていることがわかります。
また、物体の速さは、
加速度ベクトルは、
となり、位置ベクトルとちょうど逆向きで、物体の位置から円の中心に向かっていることがわかります。
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