東大文系数学'07年前期[2]
rは
をみたす実数、nは2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件①，②をみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
① 新しい2つの円の半径の比はr：
で、半径の和はもとの円の半径に等しい。 ② 新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に
個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)。
・k回目の操作で得られた
個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、
個の円を得る(
)。 
(1) n回目の操作で得られる
個の円の周の長さの和を求めよ。(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3) n回目の操作で得られる
個の円の面積の和を求めよ。
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解答 条件②の意味が不明です。重ならない、という程度のことなのでしょうか？
半径Rの円に操作(P)を施すと、半径
の円と半径
の円ができます。
半径Rの円の円周の長さは
，面積は
です。
半径
の円の円周の長さは
，面積は
です。
半径
の円の円周の長さは
，面積は
です。
(1) 操作(P)の実行により、半径Rの円について、円周の長さの和は、
となり、変化しません。 操作(P)実行前のすべての円について、円周の長さの和は変化せず、1回目の操作前の半径1の円周の長さは
なので、n回目の操作で得られる
個の円の周の長さの和も
......[答]
(2) 操作(P)の実行により、半径Rの円について、円周の面積の和は、
となり、
倍になります。 1回目の操作前の半径1の円の面積は
です。2回目の操作で得られる4つの円の面積の和は、
......[答]
(3) (2)より、n回目の操作で得られる
個の円の面積の和は、
......[答]
注．要するに、n回操作後の円周の長さの和は、定数値
となる数列、n回操作後の面積の和は、初項
，公比
の等比数列、ということです。
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