東大文系数学'98年前期[3]
(1) xは
をみたす角とする。 となるyをxで表し、そのグラフをxy平面上に図示せよ。
(2) αは
をみたす角とする。
をみたす角
，
を
で定める。kを2以上の整数として、
となるαの個数をkで表せ。
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解答 (1)からして混乱しそうですが、(1)のグラフが描ければ、(2)では
，
，
，･･･ とやって行けば答えは分かります。文系志望者の場合は、nが1つ増えるごとに何が起きるかを説明しておけば十分だと思いますが、理系の場合には、論証しておきたいところです。なお、三角関数を参照してください。
以下では、
として書きます。
(1) 
ですが、sin，cosの右が
になっていてsin，cosの符号が変化するので、
，
，
，
で場合分けします。 
，
，
右図より、
∴ 
，
右図より、
，
右図より、
∴ 
以上より、
......[答]図示すると、右図黒色実線。
(2) (1)のyとxの関係を
を表すことにします。 
と
の関係は、
となっています。
，
，
，･･･ となりますが、
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のとき、
，
です。
，
より、
(ii) 
のとき、
，
です。
(iii) 
のとき、
，
です。
(iv) 
のとき、
，
です。
，
，
，･･･ です。
のグラフより、
となるのは、
のときです。
となるαは3個あり、
の範囲を2つに等分するときの端点になっています。
となるのは
のときです。
となるのは
のときで、
となるのは
のときで、
となるのは
のときです。結局、
となるのは
のときで、
となるαは9個あり、
の範囲を8つに等分するときの端点になっています。
のとき、
となるのは
(
)のときで、
となるαは
個あり、
の範囲を
個の範囲に分けるときの端点になっていると仮定 ･･･(＊) します(
のときは上記より成り立っています)。
となるのは、
のときです。仮定(＊)より、
となるとき、
(
)です。
(
)ですが、
が
から
まで変化するとき、
は、右図のように、0から
まで直線的に増加して、
から0まで直線的に減少します。この間に、
の範囲を4つに等分する端点において、
，
，
となり、
，
，
，
，
となります。
となるのは、
(
)のときで、
となるαは
個あり、
の範囲を
個の範囲に分けるときの端点になっていて、仮定(＊)はnを
としても成り立ちます。
となるαの個数は、
個 ......[答]