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(1) 空間内の平面π上に3点A，B，Cがあり、
，
，
が1次独立であるとき、
で定まる点Pが平面π上に存在する条件は、
(この条件をこのウェブサイトでは、共面条件と呼ぶことにする)
(2) 空間内の3点A，B，Cを通る平面πのベクトル方程式は、平面上の点Pの位置ベクトルを
，点Aの位置ベクトルを
，
，
，また、s，tを実数として、
(3) 平面π上の点
の点が満たす平面πの方程式は、法線ベクトルを
として、
の点が満たす平面πの方程式は、法線ベクトルをとして、点
と平面πとの距離dは、
と平面πとの距離dは、(1) 平面π上のベクトル
，
は一次独立です。やはり平面π上に存在するベクトル
は、適当な実数s，tを用いて、
･･･① と書くことができます。
，
，
より、
整理すると、
ここで、
，
，
とすれば、
(逆は、いまの式変形を逆にたどることにより、①式のように書けるので、点Pは3点A，B，Cが位置する平面π上に存在します)
(2) (1)の①式より、
よって、平面π上の点Pの位置ベクトルがみたす方程式として、
･･･②が得られます。
ここで、
と
のいずれにも垂直なベクトルを
(これを平面πの法線ベクトルと言います。法線ベクトルの見つけ方は外積を参照)として、これを②の両辺にかけると、
より、
･･･③③式も平面を表す方程式です。
，
として、③は、
･･･④ とおくと、
∴
･･･⑤⑤式が座標空間における平面の方程式です。平面の方程式のx，y，zの係数をx成分、y成分、z成分とするベクトル
が、この平面の法線ベクトルです。
点
として、
から平面πに垂線
を下ろすと、
，
，Hはπ上の点なので、平面の方程式③を満たします。よって、
∴ 
(∵ ④)
と平面πとの距離
は、
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