数列演習'08年[16]
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(格子点) 次の問に答えよ。
(1) 
を満たす0以上の整数の組
の個数を求めよ。 (2) 
を満たす0以上の整数の組
の個数を求めよ。 (名大理系'08)
解答 (1)はグラフを書いて数えてしまうこともできますが、(2)はそうは行かないので、(1)で(2)の準備をすることにします。
(1) 
･･･① x，yの係数3と2のうちの小さい方に着目します。係数の小さい
を左辺に残して
を右辺に移項します。 ∴ 
･･･②
より、
kを
を満たす整数として、
とおくと、②は、 右辺の整数部分を調べるために、kの偶奇で分けます。mを整数として、
これを満たす整数yは、
個あります。 これを満たす整数yは、
個あります。 以上より、求める個数は、(i)，(ii)の場合を、
について加え合わせて、 
個 .......[答]注．ここで、(i)，(ii)の2通りに分けたのは、不等式①のyの係数が2だから、ということに注意してください。①で
の方に着目してしまうと3通りに場合分けすることになります。
(2) 
の両辺に6をかけて、 (1)と同じ理由で、係数の小さい項に着目するようにして、
を右辺に移項します。 さらに
を移行すると、 
･･･④jを
を満たす整数として、
とおくと、④は、 これを満たす整数zは、
個あります。 これを満たす整数yは、
を満たします。jを
を満たす整数として、
とおくと、④は、 これを満たす整数zは、
個あります。 以上より、求める個数は、
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のとき、
より、
です。②は、
のとき、
より、
です。②は、
･･･③
より、
を満たす整数として、
とおくと、③は、
より、
･･･⑤
のとき、
より、
です。⑤は、
のとき、
より、
です。⑤は、
個 .......[答]
