ガウスの法則 関連問題
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電界の大きさと、電界の向きに垂直な面の面積をかけたものは電気力線の総本数を表す。これをガウスの法則と言う。
真空中において、電荷qから伸びる電気力線の総本数は
本(但し、
は真空の誘電率、
)。
点電荷qが距離r離れた点につくる電界の強さEは、
ガウスの法則により、電気力線の密度は電界の強さです。
真空中に点電荷qが1個置かれているとして、この点電荷が作る電界を考えてみます。
空間の対称性から、点電荷qから距離rのところ、半径rの球面上の点では、どこでも同じ強さの電界になるはずです。つまり、電気力線の密度が等しくなるはずです。
また、電気力線が正電荷から出て負電荷に終端するまで増えもせず減りもしません。球面上で電気力線の密度が等しくなるのであれば、rを大きくしていくとき、この球面の面積
に反比例して電気力線の密度が小さくなり、電界の強さは弱まると考えるのが自然です。さらに、電気力線の密度、即ち、電界の強さEは点電荷の電気量qに比例すると考えるのが自然です。つまり、
真空中で、この比例定数を
とすると、
これが真空中で原点Oに置かれた点電荷qが距離r離れた点Pに作る電界の強さを与えます。
です。
であれば、もう一つの正の点電荷を空間中のどこに置いても斥力が働くので、電界の向きは、
の向きです。点電荷qからは放射状に電界ベクトルが並ぶことになります。
として、電界の向きも含めてベクトルで表すと、電界ベクトル
は、
と表すことができます。
比例定数の中に出てきた
を真空の誘電率と言います。
と書けるので、真空の誘電率の単位は、
(
，
は、コンデンサーの公式：
に出てくる静電容量Cの単位：ファラッドです。
です)となります。
②は、
と見ることもできます。
は球面の面積と電気力線の密度をかけたもので、球面を通過する電気力線の本数を表します。(2)に書いたように、電気力線は正電荷から出発して増えもせず減りもせず負電荷に向かうので、
の場合、点電荷qからは
(
)本の電気力線が出て行き、
の場合に、点電荷qに
(
)本の電気力線が終端します。高校の教科書では、この事実をガウスの法則と呼びます。
例1 真空中において、面積Sの平面上に電荷Qが分布している場合、この平面をぴったり覆う閉曲面を考えると、その面積は
(上面、下面の両面を覆うから)，
ガウスの法則より、この平面の上側、下側の電界の強さ(端の効果を無視する)、つまり電気力線の密度は、
誘電率εの物質中では、電界の強さは
となります。
例2 真空中で、面積Sの極板を間隔dをへだてて2枚平行に向き合わせる。片方の極板Aに電荷Q，もう一方の極板Bに電荷
を置く。
両極板の間の電界は、各極板が作る電界の和となり、Aの電荷もBの電荷も、A→Bの方向に電界を作るから、例1より、
一方、AB間の電圧をVとすると、極板間の電界は一様だから、
∴ 
∴ 
(平行板コンデンサーの静電容量)とおくと、コンデンサーの公式：
が導かれます。
極板間に誘電率εの物質が存在する場合には、静電容量：
として、
となります。比誘電率
を用いて、静電容量を
と書くこともできます。
真空中ではなく、誘電率εの物質中で、原点Oに置かれた点電荷qが、距離r離れた点に作る電界の強さは、
となります。
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(
は
方向の単位ベクトル)
とおく