横浜国大物理'04年[3]
重力加速度をgとして次の問いに答えよ。
(1) 次の文中の空白を埋めよ。
両端が固定された長さ
の弦にできる定常波の腹がn個(
)のときの波長は (a) と表される。
のときの振動を (b) と呼ぶ。弦を伝わる波の速さは、張力Tと弦の単位長さ当たりの質量(線密度)ρとによって (c) と表される。
(2) 同じ材質でできた、断面が円形で直径の異なる針金Aと針金Bがある。
針金Aを用いて、図のように一端を壁に固定し他端には滑車を通して質量mのおもりを付ける。壁と滑車の間の距離は
である。その中央を指ではじくと、3個の腹のある定常波ができて、振動数はfであった。 (a) 針金Aの線密度を求めよ。
針金Bについても図と同じ条件で振動させると、同様に3個の腹のある定常波ができた。同様の設定で針金Aと針金Bを二つ並べて同時にはじくと単位時間あたりk回のうなりが観測され、針金Bにおもりをわずかに追加すると、うなりは消えた。この間、針金Bの腹の数は変化しなかった。
(b) おもりを追加する前に針金Bに生じた波の振動数はいくらか。
(c) おもりを追加した後、針金Bについているおもりの質量はいくらか。
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解答 弦の振動に関する問題です。(2)では少々悩むかも知れませんが、既知の物理量を(1)(c)の結果にあてはめた式を書いてみることで視野が開けます。
(1)(a) 腹2個分の長さが波長になります。弦の長さを腹の数の
で割り、波長λは、 
......[答](b) 基本振動 ......[答]
(c) 公式なのですが、公式として記憶していなくても、次元解析で求めるようにしましょう。
長さ，質量，時間の次元をそれぞれ
，
，
とします。
波の速さvの単位は
で、次元は、長さを時間で割った次元
です。張力Tの単位は
で、次元は、質量と長さをかけて時間の2乗で割った次元
です。線密度ρの単位は
で、次元は、質量を長さで割った次元
です。v，T，ρの間に、
という関係があるとすると、次元について、 両辺の各指数を比較して、
∴ 
，
これより、
とわかります。
......[答]
(2) 針金Aの線密度をρ，針金A，針金Bの断面の円の半径をa，bとします。
単位長さあたりの質量は断面積に比例するので、針金Bの線密度
は、 
･･･①になります。
(a) (1)(a)の結果より、腹が3個できるときの波の波長は、
です。また、弦の張力はおもりにはたらく重力
に等しくなります。波の公式
より、(1)(c)の結果を用いて、 
･･･②∴ 
......[答] (b) 針金Bの方が断面積が大きく線密度も大きいので、(1)(c)の結果からして、針金Bの振動数
は、針金Aの振動数fよりも小さくなります。よって、 ∴ 
......[答] (c) おもりを追加する前は、針金Bの弦の張力は
で、振動数は
だったので、波の公式より、 
･･･③おもりを追加した後、針金Bについているおもりの質量を
とすると、振動数はfだったので、波の公式より、 
･･･④③÷④より、
∴ 
......[答] (d) ②÷③より、
①より、
∴ 
......[答]
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