信州大工物理'08年[3]
図のように、片側が可動のピストンで閉じられた閉管の管口付近に音源を置く。ピストンを動かすことにより、気柱の長さを変えることができる。気柱の開口端補正は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。ただし、設問(b)〜(d)では、主な式や説明をつけて記せ。また、気柱内の音速はとする。
(a) 次の文章の空欄に入る適当な語句または式を記せ。
の場合を考える。音源の周波数を調整すると、気柱内で共鳴が起きた。このとき、開口端は定常波の　ア　となり、閉端は　イ　となる。また、共鳴波長λは、nを正の整数とすると、λ＝　ウ　と表せる。共鳴周波数は、nを用いてf ＝　エ　と表せる。音源の周波数を増加させる場合、ある共鳴周波数と次の共鳴周波数の周波数差は、＝　オ　で表せる。
　エ　，　オ　の答えはn以外の文字を用いてよい。
(b) 音源の周波数をとする。ピストンを一定速度で引きLを長くしていくと、一定の時間間隔で共鳴が確認できた。このときの時間間隔を求めよ。ただし、uは音速に比べて十分に小さいものとする。
(c)(i) 音源の周波数をとし、Lを0からまでゆっくり変化させたところ、共鳴が12回確認できた。周波数の範囲を求めよ。
(ii) 音源の周波数を下げ、にしたところ、のとき共鳴が起きた。の値を求めよ。
(d) の位置にピストンを固定する。音源の周波数をから、毎秒の一定の割合で増加させる。周波数の増加開始時刻から、の間におきる共鳴について、共鳴がおきた時刻とそのときの共鳴周波数をすべて求めよ。ただし、t は小数点以下2桁で求めよ。


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解答　物理の問題というよりも計算の問題、という側面が強い気がします。

(a) 右図のように、一端閉管の開口端は、空気分子が激しく振動できるので、定常波の腹となります。
(ア) 腹 ......[答]
閉端は、空気分子が振動できないので、定常波の節となります。
(イ) 節 ......[答]
(ウ) 気柱の長さは、開口端補正を無視するので、右図のように波長の奇数倍になります。
∴ ......[答]
(エ) 波の公式より、
......[答]
(オ) nが1つ違うときのfの差を求めます。
......[答]

(b) 気柱に共鳴が起きるとき開口端は腹、閉端は節になるので、は、右図のように、節から節までの長さ、つまり半波長に相当します。周波数がのとき、波長は、波の公式よりです。
∴ ......[答]

(c)(i) 周波数がのとき、波長はです。共鳴が12回確認できたということは、(ウ)と同様に考えて、気柱の長さが波長の23倍以上で25倍未満(1から12番目の奇数は23です)ということです。
∴
∴ ......[答]
(ii) (エ)の結果で、，とすると、
∴
これが(i)で求めた範囲に入ることから、

これをみたす整数nは、
∴ ......[答]

(d) 時刻()における周波数は、
(エ)の結果でとすると、
よって、共鳴が起きるとき、
∴
より、
∴
これをみたす整数nは、
のとき、，
のとき、，
のとき、，
よって、のとき，のとき，のとき ......[答]


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