千葉大物理'10年[8]

千葉大物理'10年[8]

屈折率

の媒質1と屈折率

の媒質2がある。ただし、

とする。

問1　図1に示すように、媒質1と媒質2の境界面A，Bは平行な平面で、その間隔はdとする。媒質1中での波長がλの光を媒質1から境界面Aに垂直に入射した。入射光が境界面Aに到達したときの位相は揃っているものとする。以下の問いに答えよ。

(1) 媒質2中での波長

をλ，

，

を用いて表せ。

(2) 境界面Aで反射された光と境界面Bで1回反射された光が媒質1中で互いに強め合う条件をλ，

，

，dと0以上の整数mを用いて表せ。

(3) 境界面AでもBでも反射されなかった透過光と、境界面Bと境界面Aで、この順に1回ずつ反射された透過光が互いに強め合った。波長λと

，

を固定したとき、この条件を満たす最小のdの値

をλ，

，

を用いて表せ。ただし、

とする。

問2　図2のように、媒質1と媒質2が平らな面で接しており、この面以外に境界面は存在しないとする。媒質1と媒質2の境界面に立てた垂線と角度

をなす方向から媒質1中での波長がλの平行な光を入射させた。細い実線は入射波の波面を表す。以下の問いに答えよ。

(1) 媒質1から媒質2に透過した光の進行方向と境界面に立てた垂線のなす角度を

とする。

，

の間に成り立つ関係式を書け。

(2) 境界面で反射された光と入射波が互いに強めあい、波の振幅が最大となる点のうち、境界面に一番近い点と境界面の距離(この点から境界面に下ろした垂線の長さ)hを、λ，

を用いて表せ。

問3　図3のように、媒質1と媒質2の境界面A，Bは平行な平面で、その間隔はdとする。媒質1中での波長がλの位相の揃った光を細いスリットSに垂直に入射させる。スリットと境界面Aの距離を

とする。境界面Aから距離

の位置に境界面Aに平行にスクリーンを置く。スリットSを通って境界面A上の点Pで反射された光と、スリットと境界面A上の点Oを通った後、境界面B上の点Qで反射された光がスクリーン上の同じ点Rに到達した。以下の問いに答えよ。

(1) スリットを通って境界面A上の点Oに入射する光が境界面に垂直な方向となす角度を

，点Oを通って媒質1から媒質2に透過する光の進行方向と境界面Aに立てた垂線のなす角度を

，SPと境界面Aに垂直な方向のなす角度を

とするとき、

，d，

，

の間に成り立つ関係式を書け。

(2) スクリーン上の点Rに到達した二つの光が強め合う条件をλ，

，

，dと0以上の整数mを用いて書け。

(3) dが

よりも十分小さいとき、

と置くと

は

よりも十分小さい。αの近似値を

，

，d，

を用いて表せ。必要があれば、

を用いて良い。

(4) dが

よりも十分小さいとき、スクリーン上の同じ点Rに到達した光が強め合う条件をλ，

，

，dと0以上の整数mを用いて表せ。必要があれば

を用いて良い。

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解答　難問というわけではないのですが、公式をそのままあてはめる、という感覚では正解が得られないように工夫されている問題です。試験会場で、文章の形で暗記してきた物理法則を思い出すのではなく、まさに眼前で物理現象が起きているかのように捉えることができるか、ということが問われています。
真空中での光速をcとすると、屈折率nの媒質中での光速は

となります。振動数は真空中でも媒質中でも変わらないので、真空中での波長をλとすると、媒質中での波長は

となります。屈折率は1以上で、媒質中では光速も波長も小さくなることに注意してください。
問3では、最終解答に使える文字が、

，

だったり、

，

だったりして、行ったり来たりするので面倒ですが、問題文の指定に即して答えるように注意してください。

問1(1) 真空中での波長は

です。媒質2中の波長

は、真空中の波長の

となり、

......[答]

(2) 境界面Aで反射された光と境界面Bで1回反射された光との経路差は、境界面Bで反射する光が媒質2中を進む距離になるので

です。光路差は、この経路差に媒質2の屈折率

をかけて、

です。

境界面Aでの反射は、屈折率の小さい方から大きい方に入ろうとして起こる反射なので固定端の反射で、光の位相がπずれます。境界面Bでの反射は、屈折率の大きい方から小さい方に入ろうとして起こる反射なので自由端の反射で、光の位相はずれません(波の反射を参照)。
結局、両反射光では位相がπずれて、強め合う条件と弱め合う条件が逆になり、両反射光が媒質1中で強め合う条件(光の干渉を参照)は、光路差を真空中での波長の(整数＋