波の反射

波の反射　　　関連問題

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平面波が媒質の境界面に到達するとき、入射する平面波の法線と境界面の法線のなす角を入射角、境界面で反射された平面波の法線と境界面の法線のなす角を反射角と言う。
入射角と反射角は等しくなる。これを反射の法則と言う。
媒質の境界面において、媒質を構成する物質、あるいは、電界、磁界が、自由に振動できるとき、この境界を自由端と言い、ある位置で固定されて振動できないとき、この境界を固定端と言う。
媒質の境界が自由端である場合、波動は、入射した位相のまま反射し、境界が固定端である場合には、波動は反転し、入射した位相からπずれて、つまり、半周期ずれて、反射する。

平面波が均質な媒質中を進むとき、平面波の進行方向は、各波面となる平面と垂直な方向です。そこで、平面波の進行方向として、平面と直交する直線(法線)を考えます。右図のように、境界面に入射する平面波の法線と境界面の法線とのなす角が入射角、境界面で反射された平面波の法線と境界面の法線とのなす角が反射角です。
入射角と反射角は右図のように等しくなります。これを反射の法則と言います。

ホイヘンスは、ホイヘンスの原理に基づき、反射の法則を次のように説明しました。

右図のように、速さvで伝わる平面波の入射経路を

，

の3通り考えます。

，

は、ある時点における入射波の波面です。
経路

が

において反射する時点で、経路

は

で反射して

まで進み、経路

は境界面で反射して

まで進みます。

は、ある時点における反射波の波面です。

から

までの時間を

とします。
ホイヘンスの原理によれば、

で反射した波は、

を波源として時間

の間に

だけ進み、半径

の円周を作ります。この時点での波面

はこの円周に点

で接するので、△

は

が直角である直角三角形です。
また、同じ時間

の間に、経路

においては、

から

まで進み、△

も

が直角である直角三角形です。

が共通で、

より、△

と△

は合同です。

∴

よって、入射角

と反射角

は等しくなります。

岸壁に波が打ち寄せているとき、岸壁との境界面において海水は上下に自由に動けるので、自由端になります。杭に縄をしばりつけて縄に振動を与えるとき、しばりつけた点において、縄は上下に動くことができないので、この点は固定端になります。

(1) 自由端における反射

を波源とし、x軸正方向に伝わる入射波：

　･･･①

が、

に位置する自由端に到達したとして、x軸負方向に伝わる反射波を、

　･･･②

とします。自由端(

)では、媒質は自由に動けるため、

が成立します。

∴

これが、時刻tにかかわらず成立するためには、sinの値が常にゼロでなければならず、例えば、δ を、

　(

などとしても結果に違いはありません)

とすると、

これより、反射波②は、

ここで、

における反射波の変位は、

となり、入射波①の

における変位と一致します。

従って、入射波から自由端における反射波を作図する場合には、右図のように、入射波を自由端の向こう側にそのまま進入するように作図して、自由端から向こう側の部分の波形を、自由端を軸として、入射してきた側に折り返すことによって、作図できます。
自由端における反射では、波動はそのまま元に戻って行くのです。

(2) 固定端における反射

を波源とし、x軸正方向に伝わる入射波：

　･･･③

が、

に位置する固定端に到達したとして、x軸負方向に伝わる反射波を

　･･･④
とします。固定端(

)では、媒質は変位ゼロのまま動くことができず、

が成立します。

∴

これが、時刻tにかかわらず成立するためには、cosの値が常にゼロでなければならず、例えば、δ を、

　(

，

，･･･などとしても結果に違いはありません)

とすると、

これより、反射波④は、

　･･･⑤

ここで、

における反射波の変位は、

となり、入射波③の

における変位の符号を逆転させたものと一致します。

従って、入射波から固定端における反射波を作図する場合には、右図のように、入射波を固定端の逆側にそのまま進入するように作図して、x軸に関して反転させ、さらに固定端から逆側の部分の波形を、固定端に関して、入射してきた側に折り返すことによって、作図できます。
固定端における反射では、⑤式でわかる通り、波動は一旦反転し(位相がπずれて、半周期分だけ波がずれる)、元に戻って行くのです。

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