九大物理'10年[3]
無風状態の空気中を伝わる速さ
の音波について考える。以下の問いに答えよ。
問1．文中の空欄にあてはまる数式を答えよ。
図3(a)のように点Mに静止している振動数測定器に対して、救急車が直線P上を
(ただし、
)の速さで近づきながら、一定の振動数
の音を出している。すなわち救急車は1秒間にf 個の音波(1波長分を1個と考える)を発している。測定器からの距離が
の地点を点Aとする。点Aで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 ア である。救急車が点Aを通過後、
秒後に点Bに来た。ただし、点Bは点Aと点Mの間にある。点Bで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 イ である。測定器が点Aからの音波を感知してから、点Bからの音波を感知するまでの時間は、 ウ となる。時間 ウ の間には
個の音波が含まれるので、測定器が測定した音波の振動数は、 エ となる。
問2．文中の空欄にあてはまる数式を答えよ。
図3(b)のように直線P上にある点Mから測定器を点Oに離した場合を考える。問1と同じく、救急車は直線P上を
の速さで左から右に移動しながら、一定の振動数
の音を出している。直線P上のある地点を点Cとし、線分OCと直線Pのなす角を
とする。救急車が点Cを通過後、
秒後に点Dに来た。線分ODの長さを
とする。図3(b)のように線分OCに対して点Dからの垂線の足を点Hとする。時間
が十分短いとき、角DOCは十分小さいので、線分ODと線分OHの長さが等しいと見なせる。このことを利用すると、線分OCの長さは、 オ となる。点Cで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 カ である。測定器が点Cからの音波を感知してから、点Dからの音波を感知するまでの時間は、 キ となる。時間 キ の間には
個の音波が含まれるので、測定器が測定した音波の振動数は、 ク となる。
問3．問2において、振動数の時間変化を測定器で測定した。測定した振動数の時間変化を正しく表したグラフを、図3(c)の①～⑥の中から一つ選べ。なお、各グラフ中の2曲線は、測定器の設置場所が直線Pから近い場合と遠い場合を表しており、横軸の点
は救急車が点Mで発した音波が測定器に到達した時刻である。次に、測定器が直線Pから遠い場合の曲線は曲線A (実線)、曲線B (破線)のうちどちらであるかを記号で答えよ。
問4．実際の救急車は、「ピーポーピーポー・・・・」というように「ピーポー」音を一定の時間間隔
で繰り返し発している。問1の図3(a)のように救急車が測定器に近づくときに、測定器に到達する「ピーポー」音の時間間隔を
として、次の関係式の中で正しいものを記号で答えよ。
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解答 斜め方向のドップラー効果を考える問題です。
問1(ア) 距離
を速さ
で進むので、点Aで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、
......[答] (イ) 点Aから点Bまでの距離は
，点Bから点Mまでの距離は
，点Bで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、
......[答] (ウ) 点Aから点Bまでの移動時間
に(イ)の結果を加え、(ア)の結果を引くことにより、測定器が点Aからの音波を感知してから、点Bからの音波を感知するまでの時間は、 
......[答](エ) 測定した音波の周期
は、(ウ)の時間を波の個数
個で割ることにより、 測定器が測定した音波の振動数
は、 
......[答]
問2(オ) 
，
より、 線分OCの長さは、
......[答] (カ) (オ)の距離を速さ
で進むので、点Cで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、
......[答] (キ) 点Cから点Dまでの移動時間が
，点Dから点Oまで音波が伝わる時間が
より、測定器が点Cからの音波を感知してから、点Dからの音波を感知するまでの時間は、 
......[答](ク) 波の個数
を(キ)の時間で割ることにより、測定器が測定した音波の振動数
は、 
......[答]
問3 救急車が直線P上で点Cよりもずっと左にいるとき、つまり、
，
のとき、問2(ク)の結果より、
救急車が点Mに向かって移動し、θ が増大すると、
が減少し、
は次第に減少します。救急車が点Mに来て
のとき、
なので、
，救急車が点Mから右に移動すると
はさらに減少し、、
，
のとき、
こうなっているグラフは① ......[答]測定器(点O)が直線Pから遠ざかると、同じ角θ になる位置は、次第に点Mから離れてきます。つまり、同じ振動数になる時刻は
から離れてきます。ということは、グラフの傾きがなだらかになる、ということなので、測定器が直線Pから遠い場合の曲線は、曲線B ......[答]
問4 問1(エ)で見たように、ドップラー効果により、救急車が近づくとき、音波の周期は短くなって観測されます。救急車が時間間隔
で「ピーポー」音を出すとき、観測される時間間隔
も短くなって、
となります。(B) ......[答]
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