等加速度運動 関連問題
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(この項目は、変位・速度・加速度の項目を参照してください)
物体が一直線上を一定の加速度で運動するとき、この運動を等加速度運動と言う。物体に働く力が一定であるときに、物体は等加速度運動を行う。
一定加速度aで等加速度運動する物体が運動する方向をx軸、時刻
に物体が座標
に位置して、速度
であったとすると、時刻tにおける速度v，座標xは、
･･･(1)
･･･(2)
として、
･･･(3)
等加速度運動の問題を解く際に、以下の事実を利用すると便利。
横軸に時刻、縦軸に加速度をとって描いたグラフをa－tグラフと言う。a－tグラフの面積は速度変化に等しい。
横軸に時刻、縦軸に速度をとって描いたグラフをv－tグラフと言う。v－tグラフの面積は変位に等しい。また、v－tグラフの傾きは加速度に等しい。
横軸に時刻、縦軸に物体の位置する座標をとって描いたグラフをx－tグラフと言う。x－tグラフの接線の傾きは速度に等しい。
解説 1次元の物体の運動においては、運動する方向をx軸，時刻
における物体の座標を
，物体の速度を
，時刻tにおける物体の座標を
，速度を
，加速度を
として、
が成り立ちます(変位・速度・加速度を参照)。
これより、x軸上を一定加速度aで運動する物体が、時刻
において、座標
に位置して、速度
であったとすると、時刻tにおける速度vは、
･･･①
･･･②
として、
∴ 
となります。
ということは、x－tグラフ(等加速度運動では放物線)の接線の傾きが速度だということを意味しています。
また、
ということは、v－tグラフの接線の傾きが加速度だということを意味しています。
等加速度運動では、v－tグラフは直線であり、この直線の傾きが加速度です。
は、a－tグラフの時刻
より時刻tまでの面積が、速度変化：
であることを示しています。
等加速度運動では加速度一定なので、a－tグラフは横軸に平行な直線であり、a－tグラフと横軸に挟まれた長方形の面積が速度変化になります。
は、v－tグラフの時刻
より時刻tまでの面積が、変位：
であることを示しています。
等加速度運動では、v－tグラフは直線であり、v－tグラフと横軸で挟まれた台形の面積が変位になります。
重力加速度を
として、物体が地表で重力
以外の力を受けずに運動するときの加速度は、鉛直下向きに
です。等加速度運動では、公式(1)～(3)はしっかり覚えましょう。ですが、以下の例1～例5の結果まで暗記しようとしてはいけません。暗記をやり出すと物理は点が取れなくなります。問題の状況に合わせて、初速度、速度、加速度の向きを考慮して符号を決めるようにしてください。
例1 自由落下：時刻
において、物体を鉛直上向きに高さ
の地点から静かに落下させるとき、時刻tにおける高さxは、上記の公式(1)，(2)において、
，
として、
物体が
の地点まで落下するのに要する時間
は、
として、
例2 鉛直上方投射：時刻
において、物体を鉛直上向きに高さ
の地点から速さ
で投げ上げるとき、時刻tにおける高さxは、上記の公式(1)，(2)において、
はそのまま、
として、
物体が最高点に達するまでの時間
は、最高点では
より、
物体が投げ上げた地点に戻ってくるまでの時間
は、
として、
より、
鉛直上方投射で投げ上げてから最高点までの運動と、最高点から投げ上げ立ち点に戻ってくるまでの運動とは、ビデオで撮影して逆回しにしたのと同じ運動になります。よって、運動の対称性より、
になります。
例3 鉛直下方投射：時刻
において、物体を鉛直下向きに高さ
の地点から速さ
で投げ下ろすとき、時刻tにおける高さxは、上記の公式(1)，(2)において、
を
に代え、
として、
2次元の運動では、水平方向と鉛直方向を別々に考えます。
地表で重力のみを受ける物体の運動では、水平方向に等速度運動、鉛直方向に等加速度運動になります。
例4 水平投射：水平方向にx軸、鉛直方向に上向きにy軸をとります。時刻
において、位置
より、物体を水平方向に速さ
で投げるとき、時刻tにおける速度を
，座標を
とします。
鉛直方向は、自由落下と同じで、上記の公式(1)，(2)において、
，
として、
水平方向は、速度
の等速度運動で、上記の公式(1)，(2)において、
はそのまま、
として、
例5 斜方投射：水平方向にx軸、鉛直方向上向きにy軸をとります。時刻
において、位置
より、物体を水平方向から角θ だけ上向きに速さ
で投げ上げるとき、時刻tにおける速度を
，座標を
とします。
初速度の水平方向成分は
，鉛直方向成分は
です。
鉛直方向は、鉛直上方投射と同じで、上記の公式(1)，(2)において、
を
に代え、
として、
水平方向は、速度
の等速度運動です。上記の公式(1)，(2)において、
を
に代え、
として、
上記の公式(3)には時間tが出てきません。公式(3)は、時間tが出てこない運動のときに使います。
例6 例5において、
となる地点まで来たときの速度の鉛直成分を
とします。公式(3)において、
，
として、
∴ 
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