変位・速度・加速度 関連問題
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時刻tにおける物体の位置が
のとき、物体の速度は、
，加速度は、
また、加速度が時間の関数として
と与えられているとき、時刻
における速度(初速度)を
として、時刻tにおける速度
は、
時刻
における位置を
として、時刻tにおける位置
は、
解説 運動する物体Pの時刻tにおける位置が
で表されるとします。
の成分は時刻tの関数になります。
以下、簡単のために、Pがxy平面上を運動するものとして、
とします。
Pが時間
の間に、x方向に
，y方向に
動くとすると、時刻
におけるPの位置は
です。
この間のPの位置の変化
を変位と言います。
変位の単位は、位置、距離と同じく[m]です。
単位時間(1秒)あたりにどれくらい移動するかということで、物体の移動する速度を考えることができます。
を平均速度と言います(平均変化率を参照)。これの大小により、
の間の物体の移動について、速いか遅いかを考えることができます。
平均速度の単位は、距離を時間で割った[m/s]です。
例1 3秒間にx方向に12ｍ，y方向に21ｍ進む物体があるとする。この物体の平均速度は、x成分が
，y成分が
より、
です。
刻々と速度が変化するような物体の場合、平均速度だけでは、速いか遅いかを正確に扱うことができません。
そこで、
とした極限を考えるのです。この極限操作を行った時間を微小時間と言います。
平均速度の
としたときの極限
を速度と言います。速度は、各瞬間で移動の割合を考えたものです(微分・導関数を参照)。
，
は、時刻tの関数
，
を時刻tで微分したもの(導関数)を表します。速度は変位を時間で微分したものです。
速度はベクトルですが、速度ベクトル
の大きさ
を速さと言います(根号部分は、曲線の長さの公式に出てくる形です)。
速度の単位は、平均速度と同じく、[m/s]です。
Pの速度が時間
の間に
変化したとします。微小時間における速度変化、つまり、
としたときの速度変化の極限
を加速度と言います。
，
より、
として、
，
です。
はtで2回微分することを表します。
この記号を使って、
と書くことにします。加速度は、速度を時間で微分したものであり、変位を時間で2回微分したものです。
加速度の単位は、速度を時間で割ったものになり、[
]です。
例2 時刻tにおける物体Pの座標が
と表されるとき、
1次元の運動の場合、物体がx軸に沿って運動し、時刻tにおける加速度が
，時刻
における速度が
だとして、時刻tにおける速度
は、
となりますが、定積分は面積を表す(定積分と面積を参照)ので、a−tグラフの面積は速度変化
を表す、と言うこともできます。
また、時刻
におけるx座標が
だとして、時刻tにおけるx座標
は、
となりますが、v−tグラフの面積は変位
を表す、と言うこともできます。
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，
を時刻tで微分して、
，
です。
，
より、Pの加速度は、
です。
