電気・直流回路演習問題(その2)
北大物理'09年[2]
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図1のように、面積
の薄い正方形の極板AとBを距離
だけ隔てて真空中に平行に配置し、スイッチ
および起電力
の電池と導線で接続した。極板Bは接地されている。最初スイッチ
は開いており、極板AとBに蓄えられている電気量(電荷)はゼロであった。真空の誘電率を
で表す。極板間に生じる電界(電場)は一様であるとして、以下の文章の に適切な数式を入れよ。問題文に現れる記号は解答に用いてよい。
[解答へ]
横浜市大物理'08年[2]
図に示すように、起電力
の電池、電気容量
，
のコンデンサー、抵抗値
，
，
の抵抗、および切り替えスイッチSからなる電気回路がある。この回路の各コンデンサーは、はじめに電荷をもっていなかったものとして、以下の問いに答えよ。
(1) スイッチSをaに接続した状態で充分時間が経過した。コンデンサー
に蓄えられた電気量
と静電エネルギー
を求めよ。 (2) 次にスイッチSをaからbに切り換えた。切り換えた瞬間に、抵抗
，
に流れ始める電流
，
を求めよ。 (3) スイッチSをbに切り換えてから充分時間が経過した後、コンデンサー
の極板間にかかっている電圧
と蓄えられている電気量
を求めよ。 (4) スイッチSをbに切り換えてから充分時間が経過するまでに失われた静電エネルギー
を求めよ。 (5) 失われた静電エネルギー
はすべて抵抗で消費されたとする。抵抗
で消費された電気エネルギーWを求めよ。 上記の操作を1回目とし、以下、
，
とおく。スイッチSを再びaに接続した後bに接続する。この操作を2回目とする。ただし、スイッチの切り換えは十分な時間が経過した後に行うものとする。
(6) 2回目の操作から充分時間が経過した後、コンデンサー
の極板間にかかっている電圧
と蓄えられている電気量
を求めよ。 [解答へ]
阪大物理'08年後期[2]
図1～図4のような直流回路を考える。ただし、電流の向きは矢印の向きを正とし、電池の内部抵抗は無視する。
Ⅰ．図1のように、起電力
(
)の電池1，起電力
(
)の電池2，抵抗値rの抵抗3つからなる回路がある。それぞれの抵抗には電流
，
，
が流れている。電流
，
，
ならびにb点に対するa点の電位
を求めてみよう。問1 
，
，
の間に成り立つ関係は
(1) となる。 (1) の中に適切な式を入れよ。 問2 
，
，
の間に成り立つ関係は
(2) となる。さらに、
，
，
の間に成り立つ関係は
(3) となる。 (2) と (3) の中に適切な式を入れよ。
，
，
，rのうちの必要なものを用いて表せ。 
Ⅱ．次に、図2および図3の回路を考える。図2においてそれぞれの抵抗に流れる電流を
，
，
とし、図3では、それぞれの抵抗に流れる電流を
，
，
とする。問4 図2において、電池1から見た、3つの抵抗の合成抵抗を求めよ。
図1と図2を比較すると、図2は図1において電池2の起電力をゼロとした(つまり、電池2を導線と入れ替えた)場合に等しい。また、図3は図1において電池1の起電力ゼロとした(つまり、電池1を導線と入れ替えた)場合に等しい。このように電池が2つ以上あり、回路内のある抵抗に流れる電流を求める場合、1つの電池をそのままで残りの電池の起電力をゼロ(つまり電池を取り除いて導線と入れ替える)としたときに、その抵抗に流れる電流を計算し、他の電池に対しても同様の手続きを行い電流をそれぞれ求めることができれば、それらの電流を足し合わせ、実際の回路における抵抗に流れる電流を求めることができる。これを重ね合わせの原理という。つまり、図1，図2，図3においては、
，
，
の関係式が成り立つ。それぞれの電流は、電池の起電力の値と合成抵抗や抵抗の比を利用して求めればよい。
Ⅲ．さらに、図4に示すように、抵抗値
の抵抗
に流れる電流を重ね合わせの原理を用いて求めてみよう。以下の問いにおいては、
，
，r，
のうちの必要なものを用いて答えよ。問5 図4において、電池2の起電力をゼロとしたときに抵抗
に流れる電流を
とし、電池1の起電力をゼロとしたときに抵抗
に流れる電流を
とする。
と
を求めよ。 問6 前問の結果から
を求めると、以下のような形で表される。 
と
を求めよ。
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を閉じて十分な時間が経過したとき、極板A，B間にできる電界の大きさは、Vとdを用いて (1) 
と表せる。一方、極板Aに蓄えられた電気量を
とすると、極板A，B間の電界の大きさは、Q，
，Sを用いて (2) 
と表せる。したがって、極板A，Bの電気容量
は、
，S，dを用いて (3) 
と表せる。また、極板A，B間に蓄えられた静電エネルギーは、QとCを用いて (4) 
となる。
問2 次に、極板A，Bと同じ面積Sの正方形金属板Mを用意した。その厚さは
である。この金属板Mには、問1で極板Aに蓄えられた電気量の2倍の電気量
が蓄えられている。図2に示すように、スイッチを閉じたままの状態で極板A，B間の電圧をVに保ち、この金属板Mを極板A，B間に平行にゆっくり挿入した。ここで、極板A，Bと金属板Mは、極板に垂直な方向からみて正確に重なっているものとする。十分時間が経過した後、極板AとBに蓄えられた電気量をそれぞれ
と
とする。ここで
と
は正である。回路が接地されているため
であることに注意して、
と
をQのみを用いて表すと、
(5) 
，
(6) 
となる。また、極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、Cを用いて (7) 
であり、金属板Mを含む極板A，B間に蓄えられた静電エネルギーは、Cを用いて (8) 
となる。その後スイッチ
を開いて、金属板Mを極板Aに向かってゆっくりと距離
だけ平行移動させた。この平行移動に要した仕事はCを用いて (9) 
である。このとき極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさはCを用いて (10) 
であり、極板Aの電位はVを用いて (11) 
になる。
の極板間にかかっている電圧を
とする。
と
の関係を求めよ。また、
を
，
，n，
で表せ。さらに、操作を繰り返し行っていくと、電圧
はどのような値に近づくか答えよ。
，
，
，
を求めよ。
，
，rのうちの必要なものを用いて表せ。
において、図4の回路図を起電力
の電池、抵抗値
の抵抗、抵抗値
の抵抗
からなる簡単な回路に置き換えられることを示している。置き換えた回路図を描け。