京大理系数学'24年前期[3]
座標空間の4点O，A，B，Cは同一平面上にないとする。線分OAの中点をP，線分ABの中点をQとする。実数x，yに対して、直線OC上の点Xと、直線BC上の点Yを次のように定める。
，
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解答 直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔ 「直線QYと直線PXが交点をもつ、または、QY // PX」
が第一感なのですが、以下ではこれで解答しますが、かなり面倒になります。
必要十分条件については、条件・命題を参照してください。
4点O，A，B，Cが同一平面上にないので、
，
，
は1次独立です。 ･･･(＊)
また、
，
･･･③
，
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
となるs，t が存在し、⑤，⑥より、
(＊)より、
⑥より、
の場合、⑦が成立しなくなるので、
です。
⑧より、
また、
のとき⑦を満たすsは存在しません。
のとき
となり交点が存在するので、交点が存在するためには
が必要です。
つまり、直線PXと直線QYが交点をもつ ⇒ 
逆に、
のとき、
④は、
⑤は、
のとき、
より、
となり交点が存在します。
よって、直線PXと直線QYが交点をもつ ⇔ 
･･･⑨
//
となるとき、
となる実数kが存在するので、④より、
(＊)より、
，
，
よって、
です。
逆に
のとき、
となり、
//
となります。
よって、
//
⇔ 
･･･⑩
⑨，⑩より、直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔ 「直線QYと直線PXが交点をもつ、または、QY // PX」 ⇔ 
よって、
直線QYと直線PXがねじれの位置にあるためのx，yに関する必要十分条件は、
......[答]
[別解] 上記で面倒になったのは、直線QYと直線PXがねじれの位置にないことを、交点をもつ場合と平行になる場合で分けて考えたからです。
これをまとめて考える解法があります。最初から分かっていれば、まとめて考えた方が良いのですが、試験会場で、上記で始めてしまった場合は、そのまま解答してしまう方が良いと思います。
直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔ 4点P，Q，X，Yが同一平面上にある ⇔ 
となる実数s，t が存在する(ベクトルの1次独立を参照)。
①，②，③より、 ここで、
とすると、
(＊)より、
⑪より、
⑫より、
⑬より、
よって、
となる実数s，t が存在するためには、
逆に
のとき、
，
となるs，t が存在するので、直線QYと直線PXはねじれの位置にありません。
つまり、直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔ 
よって、直線QYと直線PXがねじれの位置にある ⇔ 
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，
･･･①
･･･②
･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧
･･･⑪
･･･⑫
･･･⑬