東京大学理系2019年前期数学入試問題
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[1] 次の定積分を求めよ。
[解答へ]
[2] 一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P，Q，Rはそれぞれ辺AB，AD，CD上にあり、3点A，P，Qおよび3点P，Q，Rはどちらも面積が
の三角形の3頂点であるとする。
の最大値、最小値を求めよ。
[解答へ]
[3] 座標空間の5点A
，B
，C
，D
，E
を考える。線分ABの中点Mと線分ADの中点Nを通り、直線AEに平行な平面をαとする。さらに、pは
をみたす実数とし、点P
を考える。
(1) 八面体PABCDEの平面
による切り口および、平面αの平面
による切り口を同一平面上に図示せよ。 (2) 八面体PABCDEの平面αによる切り口が八角形となるpの範囲を求めよ。
(3) 実数pが(2)で定まる範囲にあるとする。八面体PABCDEの平面αによる切り口の内
，
の部分を点
が動くとき、座標平面上で点
が動く範囲の面積を求めよ。 [解答へ]
[4] nを1以上の整数とする。
(2) 
は整数の2乗にならないことを示せ。 [解答へ]
[5] 以下の問いに答えよ。
(1) nを1以上の整数とする。xについての方程式
は、ただ一つの実数解
をもつことを示せ。 (2) (1)で定まる
に対し、
を示せ。 (3) (1)で定まる数列
，
，･･････，
，･･････に対し、 を求めよ。
[解答へ]
[6] 複素数α，β，γ，δおよび実数a，bが、次の3条件をみたしながら動く。
条件1：α，β，γ，δは相異なる。
条件2：α，β，γ，δは4次方程式
の解である。 条件3：複素数
の実部は0であり、虚部は0でない。 (1) α，β，γ，δのうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2) bをaで表せ。
(3) 複素数
がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。 [解答へ]
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と
の最大公約数
を求めよ。
，
，