東大理系数学'19年前期[2]
一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P，Q，Rはそれぞれ辺AB，AD，CD上にあり、3点A，P，Qおよび3点P，Q，Rはどちらも面積が
の三角形の3頂点であるとする。
の最大値、最小値を求めよ。
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解答 △PQRの方を考えると失敗します。
台形BCRPの面積を
とおきます。
より、
･･･①
，
とおくと、
です。
より、
，よって、
，
より、
，
，よって、
･･･②
以上より、
，
，また、
です。よって、
①より、
整理すると、
∴ 
･･･③
とおくと②より、
です。また、③の右辺は、
となり、これを
とおき微分すると、
，
，
より、増減表は以下のようになります。
増減表より(3次関数の最大・最小を参照)、
の最大値は
(
，つまり
，
のとき)、最小値は
(
，つまり
，
のとき) ......[答]
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