微分法の方程式への応用 関連問題
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3次関数
があるときに、3次方程式：
が3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式
が相異なる2個の実数解α，β をもち、かつ、
(極大値と極小値の積が負)
[証明] 
の
の係数が正の場合を考えます。負の場合も全く同様です。なお、3次関数の増減を参照してください。
2次方程式
が相異なる2個の実数解α，β をもつとき、
だとして、
であれば、極大値の方が極小値よりも大きいので、
が極大値で
が極小値であり、
です。
において、
であって
は単調増加で、
のとき
，また、
より、
は
に1個実数解をもちます。
において、
であって
は単調減少で、
，
より、
は
に1個実数解をもちます。
において、
であって
は単調増加で、
，
のとき
より、
は
に1個実数解をもちます。
以上より、
が相異なる2個の実数解α，β をもち、かつ、
であれば、3次方程式
は3個の相異なる実数解をもちます。
また、
が重解をもつ場合(すべてのxについて
)、あるいは、
が実数解をもたない場合(すべてのxについて
)は、
は単調増加な関数で、
のグラフはx軸とただ1つしか交点をもちません。よって、3次方程式
はただ1つの実数解しかもちません。
が相異なる2個の実数解α，β をもつとき、
だとして、
であるとき、
・
であれば、3次方程式
は、
の範囲に1個の実数解をもちますが、
における
の最小値：
であり、
においては、3次方程式
は、
のときに、
のグラフはx軸と接し、
を重解にもちますが、
のときには、
のグラフはx軸と共有点をもたず実数解をもちません。
・
であれば、3次方程式
は、
の範囲に1個の実数解をもちますが、
における
の最大値：
であり、
においては、3次方程式
は、
のとき
を重解にもちますが、
のときには実数解をもちません。
以上より、3次方程式：
が3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式
が相異なる2個の実数解α，β をもち、かつ、
(証明終)
例1．3次方程式：
が3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つは
の範囲に存在することを示す。
[解答] 3次関数：
を考えます。
とすると、
増減表は、
これより、
において
は単調減少で、
，
より、方程式：
は、
の範囲に解をもちます。
また、
において
は単調増加で、
，
より、方程式：
は、
の範囲に解をもちます。
において
は単調増加で、
，
より、方程式：
は、
の範囲に解をもちます。
以上より、3次方程式：
は3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つは
の範囲に存在します。
例2．kを定数として、3次方程式：
の解の個数がkの値によりどのように変わるかを調べる。
[解答] 3次方程式：
の解は、
を連立したときの解と同じです。
の増減表は、
増減表より、
のグラフは右図のようになります。
①と②を連立したときの解は、①と②のグラフの共有点のx座標です。
kの値を動かすことにより、x軸に平行な直線：
を上下に動かして交点の数を調べると、3次方程式の解の個数は、右図のように、
1個 (
のとき)，2個 (
のとき)，3個 (
のとき)，2個 ((
のとき)，1個 (
のとき) ......[答]
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