3次関数の増減 関連問題
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のとき、3次関数：
(cは実数の定数)を考える。
(微分・導関数を参照)
とすると、
増減表は、
極大値：
，極小値：
，
においては、
で
は単調増加 (
ということは接線の傾きが正で、グラフが右上がりになることを意味する)
においては、
で
は単調減少 (
ということは接線の傾きが負で、グラフが右下がりになることを意味する)
(このことの証明は、単調増加関数・単調減少関数を参照)
において、
となるが、xが
から
に変化するとき、
の符号が＋から−に変化し、
は増加から減少に切り替わる。
の周辺では
のグラフは
において最大になっている(全実数xでは最大ではない)。このようなとき、
は
において極大であると言い、
を極大値と言う。
において、
となるが、xが
から
に変化するとき、
の符号が−から＋に変化し、
は減少から増加に切り替わる。
の周辺では
のグラフは
において最小になっている(全実数xでは最小ではない)。このようなとき、
は
において極小であると言い、
を極小値と言う。
極大値と極小値をまとめて、極値と言う。
注．
，
は、
，
において、
が極大、極小になることの必要条件でも十分条件でもありません(条件・命題を参照)。
が
において極大 ⇔ 十分小さなhをとるとき、
，
となるすべてのxに対して、
が
において極小 ⇔ 十分小さなhをとるとき、
，
となるすべてのxに対して、
また、
のような関数では、
で、
ですが、
において、
は極大でも極小でもありません。このような場合、
のような点を停留点と言います。
通常の関数では、
(接線の傾きが0で、接線がx軸に平行になることを意味する)となるときに
が極値をとることが多いので、
となるところを探します。
例．3次関数：
の増減を考えます。
の導関数は、
の解は、
ここで、
の符号を調べると
の増減がわかるので、増減表と呼ばれる表を作ります。
最上行はxの欄、2行目は導関数
の欄、最下行は
の欄です。
xの欄に、少し間隔をあけて、
の解を左から小さい順に、ここでは、
と2を書き込みます。
なので、
と
に対応する
の欄に0を書き込みます。
の欄には、
と
を書き込みます。
のとき、
なので、
に対応する
の欄に＋を書き込みます。
の欄には、
が単調増加で右上がりのグラフになることを示す記号
を書き込みます。
のとき、
なので、
に対応する
の欄に−を書き込みます。
の欄には、
が単調減少で右下がりのグラフになることを示す記号
を書き込みます。
のとき、
なので、
に対応する
の欄に＋を書き込みます。
の欄には、を書き込みます。
こうして、以下のような増減表ができます。
この表だけで、
のグラフの概形(右図)が想像できてしまいます。
また、極大値が
，極小値が
であることもわかります。
さて、上記の例においては、3次関数が、極大値と極小値を持ちましたが、3次関数は必ずしも極値をもつとは限りません。
3次関数の増減(2)を参照してください。
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