関数の近似値
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微分可能な
について、aに十分近いxにおける関数値
は以下のように近似できる。
(1) 
とくに
の場合には、0に十分近いxにおける関数値
は以下のように近似できる。
(2) 
(1)を確かめておくと、平均値の定理より、
，
または
を満たすcが存在します。これにより、
･･･①
また、
･･･②
とおくと、
①－②より、
のとき、
なので、
従って、aに十分近いxについては、②式のRを無視して、
と考えることができます。
これは、右図のように、曲線上の点のy座標：
を、
における接線：
上の点のy座標で代用することに相当します。
この近似公式よりも、さらに精度を要求される場合には、テーラー展開、マクローリン展開などの技法を用います。
例1．上記の近似公式(1)において、
の場合、
より、
という近似式を作ることができます。
として、
は、
と近似計算できます。
の正しい値は、
なので、
およそ3桁の精度で正しい値になっています。
テーラー展開による公式：
(2次の近似と言います)を用いると、
の近似式は、
となり、
およそ4桁の精度で正しい値になっています。
例2．上記の近似公式(2)において、xの絶対値が十分に小さければ、
(a) 
の場合、
，
，
より、
(b) 
の場合、
，
，
より、
(c) 
の場合、
，
，
より、
などの近似公式が得られます。
(c)によると、
，
の場合、
と近似できます。
の正しい値は、
なので、およそ4桁の精度で正しい値になっています。
この場合も、より精度を上げたければ、マクローリン展開による公式：
などを用いることになります。
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