マクローリン展開    関連問題

テーラーの定理:として、閉区間で連続、開区間n回微分可能な関数があるとき、
のときには、
のときには、
を満たす
cが存在する。

[証明] 数学的帰納法により証明します。
のときは、テーラーの定理は、
(Lagrange)平均値の定理と同じです。 ・・・(T)
のとき、命題が成り立つと仮定します。
また、は、閉区間で連続、開区間回微分可能な関数だとします。
とすれば、は、閉区間で連続、開区間
n回微分可能な関数です。
従って、のときに命題が成り立つとした仮定により、
 ・・・@,
を満たす
cが存在します。
Aを定数として、
 ・・・A
とおくと、

 
  ・・・B
@−Bより、
より、
Aに代入すると、

これは、証明すべき命題の等式で、とした等式です。
よって、のときにも命題は成立します。 ・・・
(U)
(
T)(U)より、命題が成り立つことが証明されました。
(証明終)
上記では、上記では、として考えましたが、の場合も全く同様です。

テーラーの定理のの項を
Lagrangen次剰余項と言います。

テーラーの定理より、
aを含む区間で何回でも微分可能で、のとき、n次剰余項がとなるとき、つまり、

であるときには、
 ・・・C
と、無限級数の形に書くことができます。C式をテーラー展開と言います。
Cは、
aに近いxについて、の近似値を計算するのに使われている公式です。

C式で、特に、とした式
 ・・・D
マクローリン展開と言います。大学入試問題のネタとしてしばしば取り上げられている公式です。

D式を簡単に求めるだけなら、以下のようにすればよいでしょう。
,・・・,,・・・を実数として、が、 ・・・E の形に書けたとします
(必ず書けるというわけではありません)
E式でとして、
E式を微分すると、
を代入すると、
さらに微分して、
を代入すると、
さらに微分して、
 
を代入すると、
これをずっと繰り返していけば、D式のように、の係数が、となることがわかります。もちろん、こうできるためには、が無限回、微分できる関数でなければなりません。

1のとき、どんな自然数kについても、です。
より、のマクローリン展開は、

 

2のとき、,・・・
よって、,・・・
つまり、
これより、のマクローリン展開は、

 

3のとき、より、
これは、
に対して、 というように変化します。
よって、のマクローリン展開は、

 
は偶関数なので、偶数乗の項だけが出てくることに注意してください。

4のとき、より、
これは、
に対して、 というように変化します。
よって、のマクローリン展開は、

 
は奇関数なので、奇数乗の項だけが出てくることに注意してください。

ここで、例
1.ののマクローリン展開において、 (iは虚数単位で)としてみます。

   
 
 
これと、例
3.,例4.の結果を見比べると、
 ・・・F
と書けることがわかります。
F式の右辺は、複素数の
極形式で出てくる形です。即ち、複素数zについて、として、zの極形式を、と書くことができます。
F式をオイラーの公式と言います。
F式の共役複素数を考えると、として、
 ・・・G
F+Gより、
F−Gより、



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