マクローリン展開 関連問題
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テーラーの定理：
として、閉区間
で連続、開区間
でn回微分可能な関数
があるとき、
のときには、
，
のときには、
，
を満たすcが存在する。
[証明] 数学的帰納法により証明します。
のときは、テーラーの定理は、(Lagrangeの)平均値の定理と同じです。 ･･･(Ⅰ)
のとき、命題が成り立つと仮定します。
また、
は、閉区間
で連続、開区間
で
回微分可能な関数だとします。
，
とすれば、
は、閉区間
で連続、開区間
でn回微分可能な関数です。
従って、
のときに命題が成り立つとした仮定により、
･･･①，
を満たすcが存在します。
Aを定数として、
･･･②
とおくと、
･･･③
①－③より、
より、
②に代入すると、
，
これは、証明すべき命題の等式で、
とした等式です。
よって、
のときにも命題は成立します。 ･･･(Ⅱ)
(Ⅰ)，(Ⅱ)より、命題が成り立つことが証明されました。
(証明終)
上記では、上記では、
として考えましたが、
の場合も全く同様です。
テーラーの定理の
の項をLagrangeのn次剰余項と言います。
テーラーの定理より、
がaを含む区間で何回でも微分可能で、
のとき、n次剰余項が
となるとき、つまり、
であるときには、
を
･･･④
と、無限級数の形に書くことができます。④式をテーラー展開と言います。
④は、aに近いxについて、
の近似値を計算するのに使われている公式です。
④式で、特に、
とした式
･･･⑤
をマクローリン展開と言います。大学入試問題のネタとしてしばしば取り上げられている公式です。
⑤式を簡単に求めるだけなら、以下のようにすればよいでしょう。
，
，･･･，
，･･･を実数として、
が、
･･･⑥ の形に書けたとします(必ず書けるというわけではありません)。
⑥式で
として、
⑥式を微分すると、
を代入すると、
さらに微分して、
を代入すると、
さらに微分して、
を代入すると、
これをずっと繰り返していけば、⑤式のように、
の係数が、
となることがわかります。もちろん、こうできるためには、
が無限回、微分できる関数でなければなりません。
例1．
のとき、どんな自然数kについても、
です。
，
より、
のマクローリン展開は、
例2．
のとき、
，
，
，
，･･･
よって、
，
，
，
，
，･･･
つまり、
これより、
のマクローリン展開は、
例3．
のとき、
より、
これは、
に対して、
というように変化します。
よって、
のマクローリン展開は、
は偶関数なので、偶数乗の項だけが出てくることに注意してください。
例4．
のとき、
より、
これは、
に対して、
というように変化します。
よって、
のマクローリン展開は、
は奇関数なので、奇数乗の項だけが出てくることに注意してください。
ここで、例1．の
のマクローリン展開において、
(iは虚数単位で
)としてみます。
これと、例3．，例4．の結果を見比べると、
･･･⑦
と書けることがわかります。
⑦式の右辺は、複素数の極形式で出てくる形です。即ち、複素数zについて、
，
として、zの極形式を、
と書くことができます。
⑦式をオイラーの公式と言います。
⑦式の共役複素数を考えると、
として、
･･･⑧
⑦＋⑧より、
⑦－⑧より、
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