極形式 関連問題
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複素数平面上の原点以外の点P
について、
とし、
，線分OPが実軸の正方向となす角をθ とするとき、
，
より、
と書けます。この形を極形式と言います。θをzの偏角と言い、
と書きます。
zの共役複素数
より、共役複素数の偏角は
になります。つまり、
です。
[例1] 
の極形式は、
[例2] 1) 1の極形式は、
2) iの極形式は、
3) 
の極形式は、
4) 
の極形式は、
2つの複素数z，wの極形式を、
とします。
これより、極形式で2つの複素数の積を計算すると、絶対値は、各々の絶対値の積となり、偏角は、各々の偏角の和となることがわかります。つまり、
･･･①
これより、極形式で2つの複素数の商を計算すると、絶対値は、各々の絶対値の商となり、偏角は、各々の偏角の差となることがわかります。つまり、
･･･②
①，②を合わせて、複素数の偏角argには、対数logのような性質があることがわかります。
実際、nを自然数として、
が成り立ちます(ド・モアブルの定理を参照)。
複素数
に、複素数
をかけると、
になるということは、複素数平面上で、wの表す点
に向かうベクトル
の長さを
倍して、
だけ回転すると、
の表す点
に向かうベクトル
になる、ということを意味しています。
複素数zをかけるということは、複素数平面上で拡大縮小と回転を行う、ということを表しているのです。
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