相関

相関　　　関連問題

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二つの属性について、大きさが同じデータ、

，

があるとき、座標平面上に

，

，･･･，

をプロットしたものを散布図と言う。

の要素の平均値を

，

の要素の平均値を

とするとき、

の各要素と

との差(偏差)と

の各要素と

との差(偏差)の積の平均値、

を共分散と言う。

の要素の標準偏差を

，

の要素の標準偏差を

として、

を相関係数と言う。

となるが、一般的に以下のことが言える。

・rが0に近いとき、

と

の間には相関がない。

・rが1に近いとき、

と

の間には正の相関がある。つまり

の要素の値が大きくなると

の要素の値も大きくなる。

・rが

に近いとき、

と

の間には負の相関がある。つまり

の要素の値が大きくなると

の要素の値は小さくなる。

直線：

を回帰直線と言う。

が1に近いときに散布図は回帰直線に近くなる。

身長と体重とか、数学の点数と英語の点数とか、2種類の属性について、どんな関係があるのかを調べたいときがあります。そのとき、2種類の属性の相関を考えることになります。相関係数や回帰直線を求めれば、両属性の関係について調べることができます。

共分散についても、分散の公式：

と同様の公式があります。

よって、

つまり、共分散は、積の平均値から平均値の積を引いたものになります。

相関係数：

が

となるのはコーシー・シュワルツの不等式によります。x，yがそれぞれ3通りの値

，

を取るときは、

と

の内積

，

を考えることにより、

，即ち、

が成り立ちます。ここで、

，

(

)と見れば、

，

それぞれのデータの大きさが3の場合の

を意味します。n次元ベクトルにおいても、コーシー・シュワルツの不等式：

は成立するので、

，

(

)と見ることにより、一般的な、

，

それぞれのデータの大きさがnの場合の相関係数rについても、

となります。

，

のデータの組

(

)と、直線

上の点

とのy座標の差の2乗の和Sを最小とするa，bを求めてみます。

，

に注意して、

これは、

かつ

，つまり、

のときに最小になります。従って、散布図を最も良く近似する直線、つまり回帰直線は、

ということになります。傾きが

で、平均値を座標とする点

を通る直線です。

データの整理で取り上げたデータを再掲します。

日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度
1	21.4	0	71	11	27.6	2.7	54	21	29.3	11.4	31
2	25.2	0.9	67	12	23.5	0.9	71	22	31.9	6.0	46
3	24.7	1.4	67	13	26.7	7.9	37	23	30.0	8.1	34
4	24.0	0.3	71	14	25.2	1.0	58	24	26.2	7.9	50
5	26.9	6.4	57	15	26.3	8.6	51	25	27.3	8.2	46
6	24.9	6.5	53	16	27.2	5.4	45	26	19.8	0.7	70
7	26.3	9.6	44	17	25.3	1.8	56	27	24.9	10.5	48
8	19.7	0	68	18	25.3	0	71	28	25.9	7.0	47
9	28.4	6.8	55	19	27.6	11.4	46	29	27.7	5.7	48
10	29.7	8.2	42	20	29.0	7.8	38	30	27.8	7.9	48