相関

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二つの属性について、大きさが同じデータ、，があるとき、座標平面上に，，･･･，をプロットしたものを散布図と言う。の要素の平均値を，の要素の平均値をとするとき、の各要素ととの差(偏差)との各要素ととの差(偏差)の積の平均値、

を共分散と言う。の要素の標準偏差を，の要素の標準偏差をとして、

を相関係数と言う。となるが、一般的に以下のことが言える。

・rが0に近いとき、との間には相関がない。

・rが1に近いとき、との間には正の相関がある。つまりの要素の値が大きくなるとの要素の値も大きくなる。

・rがに近いとき、との間には負の相関がある。つまりの要素の値が大きくなるとの要素の値は小さくなる。

直線：を回帰直線と言う。が1に近いときに散布図は回帰直線に近くなる。

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身長と体重とか、数学の点数と英語の点数とか、2種類の属性について、どんな関係があるのかを調べたいときがあります。そのとき、2種類の属性の相関を考えることになります。相関係数や回帰直線を求めれば、両属性の関係について調べることができます。

共分散についても、分散の公式：と同様の公式があります。

よって、
つまり、共分散は、積の平均値から平均値の積を引いたものになります。

相関係数：がとなるのはコーシー・シュワルツの不等式によります。x，yがそれぞれ3通りの値，を取るときは、との内積，を考えることにより、

，即ち、

が成り立ちます。ここで、， ()と見れば、，それぞれのデータの大きさが3の場合のを意味します。n次元ベクトルにおいても、コーシー・シュワルツの不等式：は成立するので、， ()と見ることにより、一般的な、，それぞれのデータの大きさがnの場合の相関係数rについても、となります。

，のデータの組 ()と、直線上の点とのy座標の差の2乗の和Sを最小とするa，bを求めてみます。，，，，，，，に注意して、

これは、かつ，つまり、のときに最小になります。従って、散布図を最も良く近似する直線、つまり回帰直線は、

ということになります。傾きがで、平均値を座標とする点を通る直線です。

データの整理で取り上げたデータを再掲します。

日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度
1	21.4	0	71	11	27.6	2.7	54	21	29.3	11.4	31
2	25.2	0.9	67	12	23.5	0.9	71	22	31.9	6.0	46
3	24.7	1.4	67	13	26.7	7.9	37	23	30.0	8.1	34
4	24.0	0.3	71	14	25.2	1.0	58	24	26.2	7.9	50
5	26.9	6.4	57	15	26.3	8.6	51	25	27.3	8.2	46
6	24.9	6.5	53	16	27.2	5.4	45	26	19.8	0.7	70
7	26.3	9.6	44	17	25.3	1.8	56	27	24.9	10.5	48
8	19.7	0	68	18	25.3	0	71	28	25.9	7.0	47
9	28.4	6.8	55	19	27.6	11.4	46	29	27.7	5.7	48
10	29.7	8.2	42	20	29.0	7.8	38	30	27.8	7.9	48

最高気温の平均値は，分散は、

標準偏差はです。

上記のデータについて、最高気温を横軸、日照時間を縦軸に取って作った散布図を右図に示します。
日照時間の平均値は，分散は、

標準偏差はです。
最高気温が高いと日照時間も長くなる傾向があり、正の相関をしていることがわかります。実際に共分散は、

で正です。相関係数は、

で、相関係数も正です。強い相関とまでは言えませんが、かなり強い正の相関です。

より、散布図を近似する直線(回帰直線)は、

です。

上記のデータについて、最高気温を横軸、湿度を縦軸に取って作った散布図を右図に示します。
湿度の平均値は，分散は、

標準偏差はです。
最高気温が高いと湿度は低くなる傾向があり、負の相関をしていることがわかります。実際に共分散は、

で負です。相関係数は、

で、相関係数も負です。強い負の相関です。

より、散布図を近似する直線(回帰直線)は、

です。

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