センター数学IA '06年第3問
下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、
，
，
とする。
このとき、
であり、
である。
また、三角形AFHの面積は
である。
次に、
の二等分線と辺AHの交点をP，
の二等分線と辺FHの交点をQ，線分FPと線分AQの交点をRとする。このとき、Rは三角形AFHの
である。次の
〜
のうちから
に当てはまるものを一つ選べ。
重心 
外心 内心
また、
であり、したがって、
PF：PR ＝ 
：1
となる。さらに、四面体EAPRの体積は
である。
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解答 三平方の定理より、
，
，
よって、[アイ]は12
余弦定理より、
よって、[ウ]は1，[エ]は8
三角形AFHの面積は、
よって、[オカ]は15，[キ]は7
Rは三角形の各頂角の二等分線の交点で、三角形AFHの内心です。
よって、[ク]は
FPが角
を二等分するので、AF：FH ＝ AP：PH
∴ 
よって、[ケ]は4
ARが角
を二等分するので、AF：AP ＝ FR：PR
これより、PF：PR ＝ 
：AP ＝ 3：1
よって、[コ]は3
三角形EAP(右図斜線部)の面積は、三角形AEHの
倍で、
底面を三角形EAPと見るときの四面体EAPRの高さは、ABの
倍で、
よって、四面体EAPRの体積は、
これより、[サ]は2，[シ]は6
センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IA」(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。
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