センター数学IA '10年第1問
[1] 
とする。αの分母を有理化すると となる。2次方程式
の解は
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解答 最後の大小比較は、見当をつけてから差をとってみます。
(ア) 5 (イ) 2 (ウ) 1 (エ) 2 ......[答]
(オ) 1 (カ) 6 (キ) 1 ......[答]
αについて、
より、
，
〜
の中で最小になる可能性があるのは、
と
です。引いて比較すると、
よって、〜の中で最小のものは、
の
(ク) ......[答]
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[2] 次の
〜
に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。また、
に当てはまるものを、下の
〜
のうちから一つ選べ。
自然数nに関する条件p，q，r，sを次のように定める。
p：nは5で割ると1余る数である。
q：nは10で割ると1余る数である。
r：nは奇数である。
s：nは2より大きい素数である。
また、条件rの否定を
，条件sの否定を
で表す。このとき 「pかつr」はqであるための
。
は
であるための
。
「pかつs」は「qかつs」であるための
。
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解答 本問では、条件p，q，r，sを満たす自然数を具体的に挙げていけば、答がわかってしまいます(整数、条件・命題を参照)。
条件pを満たすのは、1，6，11，16，21，26，31，36，41，46，･･･
条件qを満たすのは、1，11，21，31，41，51，61，71，･･･
条件rを満たすのは、1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，･･･
条件sを満たすのは、3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，･･･
条件「pかつr」を満たすのは、1，11，21，31，41，51，61，71，･･･
となるので、「pかつr」はqであるための必要十分条件です。
証明 条件pを満たす自然数、つまり、5で割ると1余る自然数は、kを0以上の整数として、
と書けます。
はkが奇数のとき偶数、kが偶数のとき奇数になるので、「pかつr」を満たすのは、条件pを満たす自然数のうちで、kが偶数であるものであって、kは、mを0以上の整数として、
と書けます。
このとき、
となり、「pかつr」を満たす自然数の集合と、10で割ると1余る自然数の集合は一致します。つまり、
「pかつr」 ⇔ q (証明終)
(ケ) ......[答]
条件sを満たす自然数、つまり、2より大きい素数は、すべて奇数なので、条件rを満たします。ですが、条件rを満たす自然数、つまり、奇数のうち、
は素数ではありません。従って、
s ⇒ r
この命題の対偶も成立し、
⇒ 
は
であるための十分条件であって必要条件ではありません。
(コ) ......[答]
条件「pかつs」を満たすのは、11，31，41，･･･
条件「qかつs」を満たすのは、11，31，41，･･･
そこで、両条件を満たす集合を考えてみます。問題文後半にあるように集合P，R，Sをとり、さらに、条件qを満たす自然数の集合をQとします。
(ケ)(コ)の結果より、
，
よって、
∴ 「pかつs」 ⇔ 「qかつs」
(サ) ......[答]
上記より
ですが、こうなっているのは、
と
です。
また、
，
なので、
これより、P，R，Sの関係を表す図は、
(シ) ......[答]
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