センター数学IA '10年第3問
を
，
，
である直角三角形とする。
(1) 
の内接円の中心をOとし、円Oが3辺BC，CA，ABと接する点をそれぞれP，Q，Rとする。このとき、
である。また、 
であり、
である。(2) 円Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする。このとき、
であり、
である。また、点Sから辺BCへ垂線を下ろし、垂線とBCとの交点をHとする。このとき
，
である。したがって、
である。 (3) 円O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる。このとき、
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解答 方べきの定理を使うところがポイントです。方べきの定理が思いつけなければ、三角形ASRと三角形ARPの相似を考えます。
①＋②＋③より、
･･･④
④－②より、
④－③より、
④－①より、
四角形BPORは正方形なので、
(ア) 1 ......[答]従って、三角形ABCの内接円Oの半径は1です。
三角形AQRに余弦定理を適用して、 ∴ 
(イ) 4 (ウ) 5 (エ) 5 ......[答]三角形PQRの外接円の半径は1なので、三角形PQRに正弦定理を適用して、 (オ) 2 (カ) 5 (キ) 5 ......[答]
(2) 直角三角形ABPにおいて、
と三平方の定理より、 ∴ 
(ク) 1 (ケ) 0 ......[答]直線APは円Oと2点P，Sで交わり、直線ABは円OとRで接するので、方べきの定理より、 ∴ 
(コ) 3 (サ) 1 (シ) 0 (ス) 5 ......[答]
SH // ABより、 AP：SP = BP：HP = AB：SH =
：
= 5：3 ∴ 
∴ 
(セ) 3 (ソ) 5 (タ) 9 (チ) 5 (ツ) 1 (テ) 2 ......[答]
(3) Tから辺BCに垂線TKを下ろすと、
(ト) 1 (ナ) 2 ......[答]
より、3点C，T，Sは一直線上にあります。RTは円Oの直径で
は直径の上に立つ円周角で、
また、
は円Oの弦PTの上に立つ円周角で、中心角
の
∴ 
(ニ) 9 (ヌ) 0 (ネ) 4 (ノ) 5 ......[答]
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である。よって、
であり、
である。
，
，
とすると、
･･･①
･･･②
･･･③
