センター数学IA '10年第4問
袋の中に赤玉5個、白玉5個、黒玉1個の合計11個の玉が入っている。赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており、黒玉には何も書かれていない。なお、同じ色の玉には同じ数字は書かれていない。この袋から同時に5個の玉を取り出す。
5個の玉の取り出し方は
通りある。
取り出した5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点、1組だけあれば得点は1点、1組もなければ得点は0点とする。
(1) 得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは
通りであり、黒玉が含まれていないのは
通りである。 得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは
通りであり、黒玉が含まれていないのは
通りである。 (2) 得点が1点である確率は
であり、2点である確率は
である。 また、得点の期待値は
である。
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解答 取り出された5個の玉について、黒玉、赤玉、白玉の個数のすべての場合について場合の数を調べても時間内に解答できると思います。ですが、5個の玉に書かれている数字に着目し、以下の、より効率的な方針に気がつきたいところです。
11個の玉はすべて色か数字が異なります。異なる11個の玉から5個の玉を取り出す取り出し方は、
(ア) 4 (イ) 6 (ウ) 2 ......[答]
(1) 得点が0点、ということは、取り出された5個の玉に書かれている数字は1から5までの全てだということです。
このとき、黒玉が含まれているのは、5通りの数字のうち、どの数字が黒の数字か、ということが、
通り、残る4通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが
通り、よって、
通りの取り出し方があります。(エ) 8 (オ) 0 ......[答]得点が0点のとき、黒玉が含まれていないのは、5通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが
通りあります。(カ) 3 (キ) 2 ......[答]得点が1点、ということは、取り出された玉に書かれている数字は4通りで、そのうち1通りの数字は赤と白の両方に書かれている、ということです。5通りの数字から4通りの数字を選ぶ選び方が
通りあります。
このとき、黒玉が含まれているのは、4通りの数字のうち、黒の数字と赤白の両方に書かれている数字の2通りの数字の選び方が
通り、残る2通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが
通り、よって、
通りあります。(ク) 1 (ケ) 2 (コ) 0 ......[答]得点が1点のとき、黒玉が含まれていないのは、赤白の両方に書かれている数字の選び方が
通り、残る3通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが
通り、よって、
通りあります。(サ) 1 (シ) 6 (ス) 0 ......[答]
(2) 5個の玉を取り出すとき、赤と白の両方に同じ数字が書かれている組の数は、問題文にあるように、2組か1組か0組のいずれかです。
(1)で調べた通り、0組の場合が、
通り、1組の場合が、
通り、従って、2組の場合が、
通りあります。
よって、得点が1点になる確率は
，得点が2点になる確率は
(セ) 2 (ソ) 0 (タ) 3 (チ) 3 (ツ) 5 (テ) 3 (ト) 3 ......[答]得点の期待値は、
(ナ) 1 (ニ)0 (ヌ) 1 (ネ) 1 ......[答]
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