センター数学IA '13年第2問
座標平面上にある点Pは、点A
から出発して、直線
上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線
上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P，Qを考える。点PがOに達するのは
のときである。以下、
で考える。 (1) 点Pとx座標が等しいx軸上の点を
，点Qとx座標が等しいx軸上の点を
とおく。
と
の面積の和Sをt で表せば となる。これより
においては、
でSは最小値
をとる。
次に、aを
を満たす定数とする。以下、
におけるSの最小・最大について考える。 (i) Sが
で最小となるようなaの値の範囲は 
である。(ii) Sが
で最大となるようなaの値の範囲は
である。 (2) 3点O，P，Qを通る2次関数のグラフが関数
のグラフを平行移動したものになるのは、
のときであり、x軸方向に
，y軸方向に
だけ平行移動すればよい。 解答 動点を扱うところが珍しいですが、例年通りの2次方程式、2次関数の問題です。
点Pのt 秒後のx座標は、
となるのは、
のときです。
(ア) 4 ......[答]
(1) 点Pのy座標は、
(イ) 7 (ウ) 1 (エ) 6 (オ) 3 (カ) 2 ......[答]
において、Sは、
のとき、最小値
をとります(2次関数の最大最小を参照)。(キ) 8 (ク) 7 (ケ) 1 (コ) 6 (サ) 0 (シ) 7 ......[答]
Sが
で最小になるのは、
の範囲が
を含むときで、
となるとき、つまり、
のときです。(ス) 1 (セ) 7 (ソ) 8 (タ) 7 ......[答]
Sをt の関数として表したグラフは放物線で、軸
に関して対称なので、
の範囲のちょうど中間に
が来るとき、つまり、
のときに、範囲の両端
と
とでSの値が等しくなります。
従って、Sが左端の
で最大となるのは、
のときです。(チ) 9 (ツ) 1 (テ) 4 ......[答]
(2) 
のグラフをx方向にp，y方向にq平行移動したグラフの曲線を とすると、Oを通ることから、
∴ 
･･･①P
を通ることから、
･･･②Q
を通ることから、
･･･③
①，③より、 
より、
･･･③
これと、①，②より、∴ 
③より
のときには、
となり不適。よって、
，
このとき、
(ト) 5 (ナ) 2 (ニ) － (ヌ) 5 (ネ) 4 (ノ) － (ハ) 2 (ヒ) 5 (フ) 8 ......[答]
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の面積は、
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