センター数学IA '13年第3問
点Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA，Bとする。また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき
，
である。さらに、
であり、
である。
の面積は
であり、
の内接円の半径は
である。(1) 円Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。
の内接円の中心をQとし、
の内接円の中心をRとする。このとき、
である。したがって、内接円Qと内接円Rは
。 
に当てはまるものを、次の
〜
のうちから一つ選べ。
内接する 
異なる2点で交わる
外接する 共有点を持たない(2) 
であるから、
となる。 したがって、
。
に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
点Pは内接円Qの周上にある
点Qは円Pの周上にある
点Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある
点Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの外部にある
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解答 図が描きにくい問題で、ODの長さで行き詰まった受験生が多かったようですが、直角三角形の相似に気づけば大したことはありません。
後半では、昨年に引き続き、2円の位置関係が問われています。
は直角三角形です。三平方の定理より、
(ア) 1 (イ) 0 ......[答]
APは
の2等分線なので、
∽
より、AP：OP ＝ AO：OH
，
余弦定理より、
(キ) 4 (ク) 5 ......[答]
において余弦定理より、
より、
(ケ) 2 (コ) 4 (サ) 5 ......[答]
の面積は、
(三角形の面積を参照)
(シ) 2 (ス) 1 (セ) 6 (ソ) 2 (タ) 5 ......[答]
内接円の半径をrとして、
∴ 
......[答]
(チ) 6 (ツ) 5 ......[答]
(1) 
，
において、
，
(円周角)，AC共通より、
従って、
の内接円の半径も
です。また、QR // ACであって、
∴ 
(テ) 1 (ト) 2 (ナ) 5 ......[答]よって、
より、内接円Qと内接円Rは外接します。(ニ) ......[答]
(2) 円QとACとの接点をFとすると、
，
(ヌ) 6 (ネ) 1 (ノ) 0 (ハ) 5 ......[答]円P，円Qともに、AB，ACに接するので、A，P，Qは
の2等分線上の点です。 (ヒ) 1 (フ) 0 (ヘ) 5 ......[答]
より、点Pは内接円Qの内側の点であって、点Qは円Pの内側の点です。(ホ) ......[答]
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