共通テスト数学IA '22年第1問 

[1] 実数abc
 ・・・@
および
 ・・・A
を満たしているとする。

(1) を展開した式において、@とAを用いると
であることがわかる。よって
である。
(2) の場合に、の値を求めてみよう。
とおくと
である。また、(1)の計算から
が成り立つ。
これらより
である。

[2] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて本問末尾の三角比の表を用いてもよい。
太郎さんと花子さんは、キャンプ場のガイドブックにある地図を見ながら、後のように話している。

太郎:キャンプ場の地点Aから山頂Bを見上げる角度はどれくらいかな。
花子:地図アプリを使って、地点Aと山頂Bを含む断面図を調べたら、図1のようになったよ。点Cは、山頂Bから地点Aを通る水平面に下ろした垂線とその水平面との交点のことだよ。
太郎:図1の角度θは、ACBCの長さを定規で測って、三角比の表を用いて調べたらだったよ。
花子:本当になの?図1の鉛直方向の縮尺と水平方向の縮尺は等しいのかな?

1θはちょうどであったとする。しかし、図1の縮尺は、水平方向がであるのに対して、鉛直方向はであった。
実際にキャンプ場の地点
Aから山頂Bを見上げる角であるを考えると、となる。したがって、の大きさは。ただし、目の高さは無視して考えるものとする。

の解答群
 より大きくより小さい
 ちょうどである
 より大きくより小さい
 ちょうどである
 より大きくより小さい
 ちょうどである
 より大きくより小さい
 より大きくより小さい
 ちょうどである
 より大きくより小さい

三角比の表
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan) 正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
0°0.00001.00000.0000 45°0.70710.70711.0000
1°0.01750.99980.0175 46°0.71930.69471.0355
2°0.03490.99940.0349 47°0.73140.68201.0724
3°0.05230.99860.0524 48°0.74310.66911.1106
4°0.06980.99760.0699 49°0.75470.65611.1504
5°0.08720.99620.0875 50°0.76600.64281.1918
6°0.10450.99450.1051 51°0.77710.62931.2349
7°0.12190.99250.1228 52°0.78800.61571.2799
8°0.13920.99030.1405 53°0.79860.60181.3270
9°0.15640.98770.1584 54°0.80900.58781.3764
10°0.17360.98480.1763 55°0.81920.57361.4281
11°0.19080.98160.1944 56°0.82900.55921.4826
12°0.20790.97810.2126 57°0.83870.54461.5399
13°0.22500.97440.2309 58°0.84800.52991.6003
14°0.24190.97030.2493 59°0.85720.51501.6643
15°0.25880.96590.2679 60°0.86600.50001.7321
16°0.27560.96130.2867 61°0.87460.48481.8040
17°0.29240.95630.3057 62°0.88290.46951.8807
18°0.30900.95110.3249 63°0.89100.45401.9626
19°0.32560.94550.3443 64°0.89880.43842.0503
20°0.34200.93970.3640 65°0.90630.42262.1445
21°0.35840.93360.3839 66°0.91350.40672.2460
22°0.37460.92720.4040 67°0.92050.39072.3559
23°0.39070.92050.4245 68°0.92720.37462.4751
24°0.40670.91350.4452 69°0.93360.35842.6051
25°0.42260.90630.4663 70°0.93970.34202.7475
26°0.43840.89880.4877 71°0.94550.32562.9042
27°0.45400.89100.5095 72°0.95110.30903.0777
28°0.46950.88290.5317 73°0.95630.29243.2709
29°0.48480.87460.5543 74°0.96130.27563.4874
30°0.50000.86600.5774 75°0.96590.25883.7321
31°0.51500.85720.6009 76°0.97030.24194.0108
32°0.52990.84800.6249 77°0.97440.22504.3315
33°0.54460.83870.6494 78°0.97810.20794.7046
34°0.55920.82900.6745 79°0.98160.19085.1446
35°0.57360.81920.7002 80°0.98480.17365.6713
36°0.58780.80900.7265 81°0.98770.15646.3138
37°0.60180.79860.7536 82°0.99030.13927.1154
38°0.61570.78800.7813 83°0.99250.12198.1443
39°0.62930.77710.8098 84°0.99450.10459.5144
40°0.64280.76600.8391 85°0.99620.087211.4301
41°0.65610.75470.8693 86°0.99760.069814.3007
42°0.66910.74310.9004 87°0.99860.052319.0811
43°0.68200.73140.9325 88°0.99940.034928.6363
44°0.69470.71930.9657 89°0.99980.017557.2900
45°0.70710.70711.0000 90°1.00000.0000


[3] 外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。

(1) とする。このとき
である。
(2) 2ABACの間にの関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲はであり
と表されるので、ADの長さの最大値はである。

解答 [2]ABCが紛らわしいですが、ウォーミング・アップ問題なので、さっと片付けたいところです。

[1]  ・・・@
 ・・・A
(1) ,@,Aより
 ∴
アイ −6 ......[]
ウエ 38 ......[]
(2)
オカ −2 ......[]
キク 18 ......[]
よって、
ケ 2 ......[]

[2] 断面図上では、,縦方向は横方向に比べて4倍に拡大されているので、実際の正接の値はこので、
コ 0 サシス 072 ......[]
より、,つまり、
セ 
2 ......[]

[3](1) 正弦定理より、 ∴
ソ 2 タ 3 ......[]
チツ 10 テ 3 ......[]
(2) とおくと、,正弦定理より、より、
 ∴
 ∴
よって、
ト 
4 ナ 6 ......[]
ニヌ −1 ネ 3 ノ 7 ハ 3 ......[]
より、ADは、のとき最大値をとります。ADの最大値は、
ヒ 4 ......[]
注.平方完成などしなくても、△ABCが直角の直角三角形のときだろうと考えれば、計算なしで解答できます。


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