共通テスト数学IA '22年第5問
△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。
(1) 点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
である。また、点Fの位置に関係なく
，
であるので、つねに
となる。
，
，
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
BC 
BF 
CF 
EF
FP 
FQ 
PQ
(2) 
，
，
とし、(1)と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。ここで、4点B，C，Q，Pが同一円周上にあるように点Fをとる。 このとき、
であるから 
，
であり
である。
(3) △ABCの形状や点Fの位置に関係なく、つなに
となるのは、
のときである。
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解答 メネラウスの定理と方べきの定理を使うだけなので、第3問～第5問の選択問題の中では最も解き易い問題です。
(1) AG：GE = 2：1，AD：DG = 1：1なので、
ア 1 イ 2 ......[答]ここから先は、(3)も考慮し、
とおいて考えます。(1)では、
です。 
，
より、
∴ 
･･･①
つまり
のときには、
ウ 2 エ 1 オ 3 ......[答]
CQ，QA，AD，DEが出てくるようにメネラウスの定理を使います。
∴ 
･･･②
つまり
のときには、
カ 2 キ 2 ク 3 ......[答]①，②より
なので、
･･･④コ 3 サ 2 ......[答]
とおくと、
，
，
ここでも
なので
，よって④より、 シス 13 セ 6 ソタ 13 チ 4 ......[答]
(1)と同様にここでも
なので、メネラウスの定理より、 ツテ 44 トナ 15 ......[答]
(3) ③より、
∴ 
ニ 1 ヌ 3 ......[答]
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，
･･･③
∴ 
，
，
∴ 
，
∴ 
