共通テスト数学IA '22年第5問 

ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP,直線DFと辺ACの交点をQとする。

(1) 点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
である。また、点Fの位置に関係なく
であるので、つねに
となる。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 BC   BF   CF   EF
 FP   FQ   PQ

(2) とし、(1)と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。ここで、4BCQPが同一円周上にあるように点Fをとる。
このとき、であるから
であり
である。
(3) △ABCの形状や点Fの位置に関係なく、つなにとなるのは、のときである。

解答 メネラウスの定理と方べきの定理を使うだけなので、第3問〜第5問の選択問題の中では最も解き易い問題です。

(1) AGGE = 21ADDG = 11なので、
ア 1 イ 2 ......[]
ここから先は、(3)も考慮し、とおいて考えます。(1)では、です。
より、


BPAPADDEが出てくるようにメネラウスの定理を使います。
 ∴  ・・・@
つまりのときには、
ウ 
2 エ 1 オ 3 ......[]
CQ
QAADDEが出てくるようにメネラウスの定理を使います。
 ∴  ・・・A
つまりのときには、
カ 
2 キ 2 ク 3 ......[]
@,Aより


 ・・・B
なので、
 ・・・C
ケ 4 ......[]
(2) 方べきの定理より、

コ 3 サ 2 ......[]
とおくと、
ここでもなので,よってCより、


 ∴
シス 13 セ 6 ソタ 13 チ 4 ......[]
メネラウスの定理より、ここでもなので、
 ∴
 ∴
ツテ 44 トナ 15 ......[]
(3) Bより、
 ∴
ニ 1 ヌ 3 ......[]



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