共通テスト数学IA '23年第3問 

番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の条件を満たす球の塗り分け方(以下、球の塗り方)を考える。

条件−−−−−−−−−−−−−
・それぞれの球を、用意した5(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか1色で塗る。
1本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。
・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。
−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば図
Aでは、三つの球が2本のひもでつながれている。この三つの球を塗るとき、球1の塗り方が5通りあり、球1を塗った後、球2の塗り方は4通りあり、さらに球3の塗り方は4通りある。したがって、球の塗り方の総数は80である。


(1) Bにおいて、球の塗り方は通りある。


(2) Cにおいて、球の塗り方は通りある。


(3) Dにおける球の塗り方のうち、赤をちょうど2回使う塗り方は通りある。


(4) Eにおける球の塗り方のうち、赤をちょうど3回使い、かつ青をちょうど2回使う塗り方は通りある。


(5) Dにおいて、球の塗り方の総数を求める。そのために、次の構想を立てる。

構想−−−−−−−−−−−−−
Dと図Fを比較する。

−−−−−−−−−−−−−−−−
Fでは球3と球4が同色になる球の塗り方が可能であるため、図Dよりも図Fの球の塗り方の総数の方が大きい。
Fにおける球の塗り方は、図Bにおける球の塗り方と同じであるため、全部で通りある。そのうち球3と球4が同色になる球の塗り方の総数と一致する図として、右ののうち、正しいものはである。したがって、図Dにおける球の塗り方は通りある。


(6) Gにおいて、球の塗り方は通りある。

解答 例年と比較して軽い感じがしますが、基礎学力を見る共通テストとしては、この程度の難度が適切だと思います。

(1) 1の塗り方が5通りあり、球2の塗り方が球1で使った色以外の4通りあり、球3の塗り方が球2で使った色以外の4通りあり、球4の塗り方が球3で使った色以外の4通りあります。球の塗り方の総数は、通り。 アイウ 320 ......[]


(2) 1の塗り方が5通りあり、球2の塗り方が球1で使った色以外の4通りあり、球3の塗り方が、球1で使った色、球2で使った色以外の3通りあります。球の塗り方の総数は、通り。 エオ 60 ......[]

(3) 1と球3が赤になるか、球2と球4が赤になるか、です。球1と球3が赤になる場合、球2の塗り方が赤以外の4通り、球4の塗り方が赤以外の4通りで、通りの塗り方があります。球2と球4が赤になる場合も16通り。球の塗り方の総数は、通り。 カキ 32 ......[]

(4) 1が赤ということはありません。球2〜球6の中に赤ができてしまうからです。同様に、球1が青ということもありません。球1の塗り方は、赤、青以外の3通りです。赤3回、青2回なので、球2〜球65球のうちどの2球を青にするかと考え、通り。球の塗り方の総数は、通り。 クケ 30 ......[]

(5) Fにおいて、球3と球4が同色でこの塗り方が5通り、球1の塗り方が球3で使った色以外の4通り、球2の塗り方が、球3で使った色、球1で使った色以外の3通りあり、色の塗り方の総数は、通りです。これと同じ状況になるのは、(2)の場合のです。 コ 2 ......[]
Dにおける球お塗り方の総数は、(1)の結果から60を引いて、通り。 サシス 260 ......[]

(6) (5)と同様に考えます。球1と球5の間のひもを取ると、(1)と同様に考えて、球の塗り方は、通り。(5)と同様に、球1と球5を同一球として考えると(5)の図Dの状況となり(5)の結果より、球の塗り方は260通り。球の塗り方の総数は、通り。 セソタチ 1020 ......[]


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