共通テスト数学IA '23年第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1) 横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは
である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが
のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が
になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより
長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが
のものである。
(2) 花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが
のものであり、図2のような長方形は縦の長さが
の倍数である。
二人は、次のように話している。
－－－－－－－－－－－－－－－－ 花子：赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは
の倍数でもないといけないね。 －－－－－－－－－－－－－－－－462と363の最大公約数は
であり、
の倍数のうちで
の倍数でもある最小の正の整数は
である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが
のものであることがわかる。
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解答 あてずっぽうで正解させないようにするためか、各辺の長さに11がかけられていて解答が大きな数になるように作問されている(最初のアイで注意喚起している)ので、混乱しないように注意が必要です。
(1) 
，
(整数を参照)の両方を割り切る最大の素数は11です。 アイ 11 ......[答]
赤い長方形を縦にx個、横にy個並べるとして、正方形になるために、
これを満たす最小の自然数の組x，yは、
，
，一辺の長さは、
ウエオカ 2310 ......[答]正方形でない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、差の絶対値が、462と110の最大公約数22 (整数を参照)になるときです。 キク 22 ......[答]赤い長方形を縦にx個、横にy個並べるとして、縦の長さが横の長さより22長いとき、 両辺を22で割って、
･･･①
なので、①を満たす特殊解として
，
より、
･･･②
①－②より、
5と21は互いに素なので、kを整数として、
，
よって、
ですが、最小となる自然数yは、
のとき
正方形の横の長さは、
ケコサシ 1848 ......[答]
(このとき
なので、縦の長さは、
です)
(2) 赤い長方形を縦にx個並べたときの縦の長さ
と、青い長方形を縦にy個並べたときの縦の長さ
が等しく、
両辺を22で割って、
5と7は互いに素なので、縦の長さが最小になるとき、
，
このときの縦の長さは、
スセソ 770 ......[答]
と
の最大公約数は、
です。 タチ 33 ......[答]
の倍数のうちで、
の倍数でもある最小の正の整数、即ち、最小公倍数は、
ツテトナ 2310 ......[答]図2のような正方形において、縦の長さは770の倍数で、xを自然数として
とすると、横の長さは、赤い長方形をy個横に並べ、青い長方形をz個並べるとして、 両辺を11で割ると、
70と3は互いに素なので、xは3の倍数で、kを自然数として、
とおくと、
∴ 
14と11は互いに素なので、zは14の倍数で、そのうち最小ものは
このとき、
，つまり、
最小となるyは、
のとき
，また
よって、正方形の1辺の長さは、
ニヌネノ 6930 ......[答]
(このとき、赤い長方形を4個横に並べて長さ
，青い長方形を14個横に並べて長さ
，
となっています)
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，つまり、
∴ 
