共通テスト数学IA '23年第4問 

色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1) 横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462110の両方を割り切る素数のうち最大のものはである。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さがのものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、
462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値がになるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さがのものである。


(2) 花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さがのものであり、図2のような長方形は縦の長さがの倍数である。
二人は、次のように話している。

−−−−−−−−−−−−−−−−
花子:赤い長方形を青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎:赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子:正方形だから、横の長さはの倍数でもないといけないね。
−−−−−−−−−−−−−−−−

462363の最大公約数はであり、の倍数のうちでの倍数でもある最小の正の整数はである。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も
1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さがのものであることがわかる。

解答 あてずっぽうで正解させないようにするためか、各辺の長さに11がかけられていて解答が大きな数になるように作問されている(最初のアイで注意喚起している)ので、混乱しないように注意が必要です。

(1) の両方を割り切る最大の素数は11です。 アイ 11 ......[]

赤い長方形を縦にx個、横にy個並べるとして、正方形になるために、
,つまり、 ∴
これを満たす最小の自然数の組xyは、,一辺の長さは、 ウエオカ 2310 ......[]
正方形でない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、差の絶対値が、462110の最大公約数22になるときです。 キク 22 ......[]
赤い長方形を縦にx個、横にy個並べるとして、縦の長さが横の長さより22長いとき、
両辺を22で割って、
 ・・・@
なので、@を満たす特殊解として、 ・・・A
@−Aより、

521は互いに素なので、kを整数として、
よって、ですが、最小となる自然数
yは、のとき
正方形の横の長さは、 ケコサシ
1848 ......[]
(
このときなので、縦の長さは、です)

(2) 赤い長方形を縦にx個並べたときの縦の長さと、青い長方形を縦にy個並べたときの縦の長さが等しく、
両辺を22で割って、
57は互いに素なので、縦の長さが最小になるとき、
このときの縦の長さは、 スセソ
770 ......[]
の最大公約数は、です。 タチ 33 ......[]
の倍数のうちで、の倍数でもある最小の正の整数、即ち、最小公倍数は、 ツテトナ 2310 ......[]
2のような正方形において、縦の長さは770の倍数で、xを自然数としてとすると、横の長さは、赤い長方形をy個横に並べ、青い長方形をz個並べるとして、
両辺を11で割ると、
703は互いに素なので、x3の倍数で、kを自然数として、とおくと、 ∴
14
11は互いに素なので、z14の倍数で、そのうち最小ものは
このとき、,つまり、
最小となる
yは、のとき,また
よって、正方形の
1辺の長さは、 ニヌネノ 6930 ......[]
(
このとき、赤い長方形を4個横に並べて長さ,青い長方形を14個横に並べて長さとなっています)



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