共通テスト数学IA '24年第5問 

1のように、平面上に5ABCDEがあり、線分ACCEEBBDDAによって、星形の図形ができるときを考える。線分ACBEの交点をPACBDの交点をQBDCEの交点をRADCEの交点をSADBEの交点をTとする。
ここでは

APPQQC = 233ATTSSD = 113
を満たす星形の図形を考える。
以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。


(1) AQDと直線CEに着目すると
が成り立つので
QRRD =
となる。また、△AQDと直線BEに着目すると
QBBD =
となる。したがって
BQQRRD =
となることがわかる。

の解答群
 
AC   AP   AQ   CP   PQ

(2) 5PQRSTが同一円周上にあるとし、であるとする。
(i) 5APQSTに着目すると、ATAS = 12よりとなる。さらに、5DQRSTに着目するととなることがわかる。
(ii) 3ABCを通る円と点Dとの位置関係を、次の構想に基づいて調べよう。

構想−−−−−−−−−−−−−
線分ACBDの交点Qに着目し、の大小を比べる。
−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、かつであることから
 ・・・@
が成り立つ。また、3ABCを通る円と直線BDとの交点のうち、Bと異なる点をXとすると
 ・・・A
が成り立つ。@とAの左辺は同じなので、@とAの右辺を比べることにより、が得られる。したがって、点D3ABCを通る円のにある。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 <   =   >

の解答群
 内部   周上   外部

(iii) 3CDEを通る円と2ABとの位置関係について調べよう。
この星形の図形において、さらにとなることがわかる。したがって、点A3CDEを通る円のにあり、点B3CDEを通る円のにある。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 内部   周上   外部


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解答 メネラウスの定理、方べきの定理が大活躍する問題です。

(1) メネラウスの定理を適用するのですが、△ACSと△AQDが頂点Aを共有するように重なっている状況を見抜きます。Aを出発して、ACQRDSAのように回ります。メネラウスの定理より、

 ア 0 ......[]
QRRD = 14 イ 1 ウ 4 ......[]
AQDと△BDTが頂点Dを共有するように重なっている状況を見抜きます。Dを出発して、DBQPATDのように回ります。メネラウスの定理より、
QBBD = 38 エ 3 オ 8 ......[]
従って、BQQRRD = 314

(2)(i) とおくと方べきの定理より、
 カ 5 ......[]
 ・・・B
さらに、とおくと、方べきの定理より、
 ・・・C
 キク
45 ......[]
 ケ 0 ......[] ・・・@
円周上の点ABCXについて、弦ACと弦BXの交点がQなので、方べきの定理より、
 ・・・A コ 1 ......[]
@,Aより、 サ 0 ......[]
従って、点D3ABCを通る(Xも通る)円の外部にあります。 シ 2 ......[]
3
CDEを通る円と直線ADとの交点のうちDと異なる点をYとすると、円周上の点CDEYについて、弦CEと弦DYの交点がSなので、方べきの定理より、
 ( 問題文)
Bより、,よって、
A3CDEを通る円の外部にあります。 ス 2 ......[]

3
CDEを通る円と直線BDとの交点のうちDと異なる点をZとすると、円周上の点CDEZについて、弦CEと弦DZの交点がRなので、方べきの定理より、
Cより、,また、,よって、
A3CDEを通る円の外部にあります。 セ 2 ......[]


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