センター試験数学IIB 2011年問題
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[1][1] 
のとき、関数
の最小値を求めよう。
とおくと であるから
となる。また
である。
のとり得る値の範囲は であるから、t のとり得る値の範囲は
である。したがって、yは
，すなわち
のとき、最小値
をとる。
[2] 自然数xで、条件
･･･①
･･･②を満たすものを求めよう。
まず、xを正の実数として、条件①を考える。①は
とおくと となる。この2次方程式を解くと
，
となる。したがって、条件①を満たす最小の自然数xは
であり、
以上のすべての自然数xは①を満たす。
次に、条件②について考えると、②を満たす最大の自然数xは
であり、
以下のすべての自然数xは②を満たす。
したがって、求めるxは
以上
以下の自然数である。 [解答へ]
[2] 座標平面上で、放物線
をCとする。
曲線C上の点Pのx座標をaとする。点PにおけるCの接線
の方程式は
である。
のとき直線
がx軸と交わる点をQとすると、Qの座標は
である。
のとき、曲線Cと直線
およびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると
である。
のとき、曲線Cと直線
および直線
で囲まれた図形の面積をTとすると
である。
のときは
，
のときは
であるとして、
に対して
とおく。aがこの範囲を動くとき、Uは
で最大値
をとり、
で最小値
をとる。
[解答へ]
[3] 数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pを
で表す。
数直線上に点
，
をとる。線分
を3：1に内分する点を
とする。一般に、自然数nに対して、線分
を3：1に内分する点を
とする。点
の座標を
とする。
，
であり、
である。数列
の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数nに対して
とする。
である。したがって、
(
)であり、
(
)
，
については、当てはまるものを、次の
～
のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
次に、自然数nに対して
を求めよう。
とおくと
(
)
となる。ただし、
，
，
，
については、当てはまるものを、次の～のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
[解答へ]
[4] 四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、
，
，
であり、底面の四角形ABCDは長方形であり、
とおき、
，
，
とおく。
を
，
，
を用いて表すと
である。辺ODを1：2に内分する点をLとすると
となる。
さらに辺OBの中点をM，3点A，L，Mの定める平面をαとし、平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから、
は実数s，tを用いて
と表されるので、
となる。一方、点Nは辺OC上にもある。これらから、
となる。
また、
，
，
である。よって、
を計算すると、
のとき、直線AMと直線MNは垂直になることがわかる。
[解答へ]
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