センター数学IIB '11年第4問
四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、
，
，
であり、底面の四角形ABCDは長方形であり、
とおき、
，
，
とおく。
を
，
，
を用いて表すと
である。辺ODを1：2に内分する点をLとすると
となる。
さらに辺OBの中点をM，3点A，L，Mの定める平面をαとし、平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから、
は実数s，tを用いて
と表されるので、
となる。一方、点Nは辺OC上にもある。これらから、
となる。
また、
，
，
である。よって、
を計算すると、
のとき、直線AMと直線MNは垂直になることがわかる。
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解答 この空間ベクトルの問題には、図形的な要素はあまりなく、ひたすら計算、ということになるでしょう。0～4の数値しか出てこないので、問題文を読み違える、ということでもなければ、ミスの可能性も低かったと思われます。
(ア) a (イ) b ......[答]
より、
(ウ) 2 (エ) 3 (オ) 1 (カ) 1 ......[答]
より、
･･･①
･･･②
，
，
が1次独立で、点Nが辺OC上にあることから、②の
，
の係数について、
これを解いて、
，
②より、
，
(ス) 1 (セ) 4 ......[答]
①より、
･･･③
より、
∴ 
より、
∴ 
より、
∴ 
(ソ) 1 (タ) 2 (チ) 0 (ツ) － (テ) 2 ......[答]
直線AMと直線MNが垂直になるとき、
です。①，③を用いて、
∴ 
，
(ト) 2 ......[答]
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