共通テスト数学IIB '23年第4問 

花子さんは、毎年の始めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1%で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は万円となる。次の年の初めには万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年初めの入金額を
p万円とし、n年目の初めの預金を万円とおく。ただし、とし、nは自然数とする。
例えば、である。


(1) を求めるために二つの方針で考える。

方針1−−−−−−−−−−−−
n年目の初めの預金と年目の初めの預金との関係に着目して考える。
−−−−−−−−−−−−−−−−


3年目の初めの預金万円について、である。すべての自然数nについて
が成り立つ。これは
と変形でき、を求めることができる。

の解答群
    
    
    

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
       
 
p      
       

方針2−−−−−−−−−−−−
もともと預金口座にあった
10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。
−−−−−−−−−−−−−−−−

もともと預金口座にあった
10万円は、2年目の初めには万円になり、3年目の初めには万円になる。同様に考えるとn年目の初めには万円になる。
1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めには万円になる。
2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めには万円になる。
n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp万円のままである。
これより
となることがわかる。ここで、となるので、を求めることができる。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
    n      

の解答群
    k      

の解答群
    
   
@3>> 
    

(2) 花子さんは、10年目の終わりの預金が30万円以上になるための入金額について考えた。
10年目の終わりの預金が30万円以上であることを不等式を用いて表すととなる。この不等式をpについて解くと
となる。したがって、毎年の初めの入金額が例えば18000円であれば、10年目の終わりの預金が30万円以上になることがわかる。

の解答群
       
       

(3) 1年目の入金を始める前における花子さんの預金が10万円ではなく、13万円の場合を考える。すべての自然数nに対して、この場合のn年目の初めの預金は万円よりも万円多い。なお、年利は1%であり、毎年の初めの入金はp万円のままである。

の解答群
 3   13   
       
       
       


解答 難問ではないのですが、計算がややこしく、完答は大変です。

(1)
 ア 2 ......[]
 ・・・@ イ 0 ウ 3 ......[]
 ・・・A 
@−Aより、 エ
4 オ 0 ......[]
数列は、公比1.01,初項の等比数列。よって、
 ・・・B
もともと預金口座にあった10万円は、n年目の初めには万円になります。
1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めに万円になります。 カ 2 ......[]
2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めに万円になります。 キ 3 ......[]
n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにp万円です。
これより、
 ク 2 ......[]
 ケ 1 ......[]
ここからもBが求められます。

(2) 10年目の初めの預金はBでとして、
10年目の終わりの預金について、 コ 3 ......[]
これより、
 ∴  サシ 30 スセ 10 ......[]
注.より、です。

(3) 1年目の入金前の預金が10万円→13万円になるとき、Bのとすると、

 ソ 8 ......[]
(1)の方針2で、もともと預金口座にあった10万円がn年後の初めに万円になる、と求めているので、10万円が13万円になれば、万円多くなることはすぐにわかります。



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