2項間漸化式 関連問題
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数列の隣接2項：
，
に関する関係式を2項間漸化式と言います。
(1) 基本形：
(p，q：定数，
とする。
のときは等差数列)
･･･① (
，
)，
とする。
，
をともにxとおいた1次方程式：
･･･② を解くと、
①－②より、
これより、
は、初項：
，公比：pの等比数列。
よって、
∴ 
[注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。道すじを覚えること。
2項間漸化式にはさまざまな亜種があります。ここでは、代表的な2例をあげておきます。
(2) 
(p，q，r：定数，
)
基本形(1)で定数qだったところが、等比数列の形をしているタイプです。
両辺を
で割る(
がいるときは、
乗で割ると覚えてください)と、
ここで、
とおくと、
これは、2項間漸化式の基本形です。(1)の手順で
を求めて、
とすれば一般項が求められます。
(3) 
(p，q，r：定数，
)
基本形(1)で定数qだったところが、nの1次式になっているタイプです。
[解法1] 
･･･③ (
，
)，
とする。
③でn→
として、
･･･④ (これを
とすると誤りなので要注意)
④－③により、
数列
は基本形(1)と同じ形の漸化式に従います。
より、
初項は
(1)の手順を行えば、
を③に代入すると、
∴ 
[解法2] 一般項を
･･･⑤ とおく。(
は公比：pの等比数列で、等比数列にnの1次式を加えた形)
③に代入して、
整理すると、
が公比：pの等比数列になるのは、
のとき、
すなわち、
，
⑤で
として、
∴ 
これで、
となります。これを⑤に代入して、
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