共通テスト数学IIBC '25年第1問
(1) 
のとき、方程式 
･･･①の解を求めよう。以下では、
，
とおく。このとき、①は 
･･･②となる。
(i) 二つの一般角αとβが等しければ、
と
は等しい。
を満たすθは
であり、これは①の解の一つである。そして、
のとき となる。
(ii) 太郎さんと花子さんは、
以外の①の解を求める方法について話している。
太郎：角が等しくなくても、サインの値が等しくなることがあるね。
花子：サインの値が等しくなるのはどんなときか、単位円を用いて考えてみようか。
Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円をCとする。さらに、αの動径とCとの交点をP，βの動径とCとの交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。
②が成り立つときに、点Pと点Qの間につねに成り立つ関係の記述として、次の
～
のうち、正しいものは
である。
の解答群 点Pと点Qは同じ点である。 
点Pのx座標と、点Qのx座標が等しい。
点Pのy座標と、点Qのy座標が等しい。 点Pと点Qは、原点Oに関して対称である。
(iii) 
とする。 ・
の場合を考える。このとき、
であるので、②が成り立つとき、(ii)で考察したことに注意すると、αとβは を満たすことがわかる。これより、
のときの①の解 を得る。
・
の場合を考える。このとき、
であるので、②が成り立つとき、(ii)で考察したことに注意すると、αとβは を満たすことがわかる。これより、
のときの①の解 を得る。
以上より、
のとき、①の解は である。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい) 0 
π 
(2) 
のとき、方程式 の解は
である。
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解答 三角関数の方程式①を基礎事項だけで解く、という趣旨なのですが、①を、和を積に直す公式：
を用いて解くと、
より、
，
よって、
より、
また、
より、
よって
，とする方が、ア，カ，キ，ク，コ，サ，シ，スだけなら簡単だと思いますが、誘導の途中のエ，オ，ケも聞かれているので、誘導の通りに進めるしかありません。しかもかえって考えにくくなり、オ，ケは少々悩むかも知れません(安易に答えるとミスするので注意が必要です)。θを求めておいて、
を
に代入する方が安全のような気がします。
，
･･･② となりますが、
とは限らない、ということが本問のポイントになっています。
(1)(i) 
であれば②が成立します。このとき、
∴ 
ア 6 ......[答] 
のとき、
イ 3 ウ 2 ......[答](ii) 単位円上で、動径(中心Oから伸びる半直線)と始線(x軸正方向)のなす角のsinの値は、動径と円との交点のy座標です。②は、動径と円との交点P，Qのy座標が等しいと言っているわけです。エ 2 ......[答]
P，Qのy座標が等しいとき、y軸の
の部分に関してPとQが対称になる場合と、y軸の
の部分に関してPとQが対称になる場合と、2通りあることに注意します。 (iii)・
のとき、
，
となりますが、このとき、PとQは
の部分にありy軸に関して対称で、
となり、
です。オ 2 ......[答] 
∴ 
カ 5 キク 18 ......[答]
・
のとき、
，
となりますが、このとき、PとQは
の部分にありy軸に関して対称で、
となり、
です。ケ 6 ......[答] 
∴ 
コサ 17 シス 18 ......[答]以上より、
のとき、
となります。 
であれば、③が成立します。
より、
このときは、αの動径とβの動径はx軸に関して対称です。・
のとき、
，
となりますが、αの動径とβの動径はx軸に関して対称になり得ません。 ・
のとき、
，
となりますが、αの動径とβの動径は
の部分にあり、x軸に関して対称で、
，よって、
∴ 
以上より、
のとき、
セ 6 ソタ 11 チツ 18 ......[答]
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または
，
とおくと、
･･･③