共通テスト数学IIBC '25年第3問
kを0でない実数とし、
を2次関数とする。
と
はどちらも導関数が
であるような関数で、
は
で極小値0をとり、
は
で極大値0をとるとする。
(1) まず、
の場合を考える。 
の導関数が
であることからであり、
は
で極大値をとる。また、
の導関数が
であることから 
(Cは積分定数)と表され、
は
で極小値をとる。さらに
に関する条件から
である。
(2) 次に、
の場合を考える。 このとき、
と
に関する条件から、
のグラフと
，
の極値について調べよう。
(i) 
が
で極値をとることから、
であり、
の前後で
の符号は
。さらに、
が
で極大値をとることから、
であり、
の前後で
の符号は
。したがって、
の導関数は
であることに注意すると、座標平面において
のグラフの概形は
であることがわかる。 
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
負から正に変わる 
正から負に変わる 
変わらない
については、最も適当なものを、右の～
のうちから一つ選べ。なお、y軸は省略しているが、上方向が正の方向であり、x軸は直線
を表している。(ii) 
に関する条件から、すべての実数xに対して
が成り立つ。このことと(i)の考察により、
の極大値は と表され、
の極大値は、関数
のグラフとx軸で囲まれた図形の
と等しいことがわかる。
さらに
に関する条件から、
の極大値は、
の
と等しいことがわかる。
～
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 0 1 k 
x
の解答群
の解答群
面積 面積の－1倍
の解答群
極小値 極大値
極小値の－1倍 極大値の－1倍
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解答 (2)では昨年に続いて抽象関数が扱われています。難しくはありませんが、丁寧に注意深く解答する必要があります。
問題文の設定より(導関数を参照)、
，
･･･①
は
で極小値0をとる(3次関数の増減を参照)ので、
，
･･･②
は
で極大値0をとるので、
，
･･･③
より、aを定数として
･･･④
(1) 
のとき、
ア 6 イ 6 ......[答] 
とすると、
は
で極大、
で極小となります。 ウエ －1 ......[答]①，②より、
として、
･･･⑤オ 2 カ 3 ......[答]
と同じく
は
で極小値をとります。 キ 0 ......[答]また
は、
で極大なので、⑤，③で
として、 
∴ 
クケ －1 ......[答]
(2) 
の場合を考えるので、②，④より
の増減表は以下のようになります。 増減表と④より
です。 (i) ②より
です。 コ 0 ......[答] 上記増減表より、
の前後で
の符号は負から正に変わります。 サ 0 ......[答]③より
です。 シ 0 ......[答]上記増減表より、
の前後で
の符号は正から負に変わります。 ス 1 ......[答]増減表より、
のグラフの概形はです。 セ 3 ......[答] (ii) ①よりbを定数として、
と書くことができますが、
であれば、
となります。
と
の値は0とは限らず、増減表より
なので、選択肢の中で
となるのものは
のみです。 ソ 3 タ 0 ......[答] つまり、
です。
の極大値は増減表より
ですが、
です。 チ 2 ツ 0 ......[答]②，③より
なので、
は
のグラフとx軸で囲まれた図形の面積と等しくなります(定積分と面積を参照)。 テ 0 ト 0 ......[答]⑤と同様に、
･･･⑥
②より
なので、
･･･⑦
⑥で
とし、③より
なので、
⑦より、
つまり、
の極大値
は、
の極小値
の
倍です。 ナ 2 ......[答]
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